Abitur 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

Die Abbildung zeigt den Graphen

G_{f}

der Funktion

f : x \mapsto \frac{4 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}

mit dem Definitionsbereich

D_{f} = ℝ

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Begründen Sie, dass

G_{f}

stets oberhalb der x-Achse verläuft und berechnen Sie den Schnittpunkt von

G_{f}

mit der y-Achse. Weisen Sie nach, dass für

x \to \pm \infty

die Gerade y = 0 Asymptote von

G_{f}

ist.

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Erklären Sie, wie man mit Hilfe des Graphen

G_{f}

ohne Berechnung von

f^{'}

näherungsweise Werte von

f^{'}

an einzelnen Stellen ermitteln kann. Bestimmen Sie auf die von Ihnen beschriebene Weise einen Näherungswert für

f^{'} (1)

auf eine Dezimale gerundet.

Teilaufgabe 1c (3 BE)

Die Funktion F mit

D_{F} = ℝ

hat die Form

F (x) = \frac{c}{e^{x} + 1}

und ist eine Stammfunktion von f. Bestimmen Sie die Konstante c.
[Zur Kontrolle:

F (x) = \frac{- 4}{e^{x} + 1}

]

Teilaufgabe 1d (6 BE)

Bestimmen Sie F(0) und F'(0) sowie das Verhalten von F an den Rändern von

D_{F}

. Begründen Sie, dass F streng monoton zunehmend in

D_{F}

ist.

Teilaufgabe 1e (4 BE)

Tragen Sie die Tangente an den Graphen von F im Punkt

P (0 | F (0))

in nebenstehendes Koordinatensystem ein und skizzieren Sie anschließend den Graphen von F unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in diese Abbildung.

Teilaufgabe 1f (6 BE)

Der Graph

G_{f}

, die x-Achse sowie die Geraden

x = - u

und

x = u (u > 0)

schließen ein Flächenstück vom Inhalt A(u) ein. Bestimmen Sie

lim_{u \to + \infty} A (u)

und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

Folgende Tabelle gibt für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1991 bis 1999 die Anzahl der Mobilfunkverträge in Deutschland jeweils zum Jahresende an.

Die steigende Anzahl der Mobilfunkverträge lässt sich in diesem Zeitraum näherungsweise als exponentielles Wachstum auffassen und durch eine Exponentialfunktion der Form

N (x) = a \cdot e^{b x}

(

a, b \in ℝ

) beschreiben.

N (x)

ist dabei die Zahl der Mobilfunkverträge in Millionen,

x

ist die seit Jahresende 1991 vergangene Zeit in Jahren. Beispielsweise ist

x = 8

für das Ende des Jahres 1999.

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Bestimmen Sie a und b aus den Werten für die Jahre 1991 und 1999. Runden Sie b auf zwei Dezimalen.
[Ergebnis: a = 0,5; b = 0,48]

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des Funktionswertes N(x) für das Jahresende 1995 vom tatsächlichen Wert. Welcher Funktionswert ergibt sich für das Jahresende 2007? Bewerten Sie das Ergebnis im oben genannten Anwendungszusammenhang.

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Bei einem exponentiellen Wachstum dauert es immer gleich lang, bis sich die Funktionswerte verdoppeln. Berechnen Sie diese Verdopplungszeit im vorliegenden Fall.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Lösung als Video:

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!