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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
Die Abbildung zeigt den Graphen   G f   der Funktion   f : x ↦ 4 e x ( e x + 1 ) 2   mit dem Definitionsbereich   D f = ℝ .

Begründen Sie, dass   G f   stets oberhalb der x-Achse verläuft und berechnen Sie den Schnittpunkt von   G f   mit der y-Achse. Weisen Sie nach, dass für   x → ± ∞   die Gerade y = 0 Asymptote von   G f   ist.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Verlauf der Funktion



f : x ↦ 4 e x ( e x + 1 ) 2 , D f = ℝ
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = 4 e x ︷ > 0 ( e x ︸ > 0 + 1 ) 2 ︸ > 0 > 0

Sowohl Nenner als auch Zähler sind im gesamten Definitionsbereich D f = ℝ stets positiv, also gilt das auch für f ( x ) .
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen



x = 0 ⇒ y = f ( 0 ) = 4 e 0 ( e 0 + 1 ) 2 = 4 ⋅ 1 ( 1 + 1 ) 2 = 4 4 = 1

⇒ ( 0 | 1 ) Schnittpunkt von G f mit der y -Achse.
Asymptoten bestimmen



lim x → + ∞ 4 e x ( e x ︸ → ∞ + 1 ) 2 ︸ die 1 ist gegen  ∞  vernachlässigbar = lim x → + ∞ 4 e x ( e x ) 2 = lim x → + ∞ 4 e x ︸ → ∞ = 0


lim x → - ∞ 4 e x ︷ → 0 ( e x ︸ → 0 + 1 ) 2 ︸ → 1 = 0


⇒ y = 0 ist Asymptote von G f
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Themen dieser Aufgabe:
Verlauf der Funktion
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Asymptoten bestimmen
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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