Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Folgende Tabelle gibt für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1991 bis 1999 die Anzahl der Mobilfunkverträge in Deutschland jeweils zum Jahresende an.

Die steigende Anzahl der Mobilfunkverträge lässt sich in diesem Zeitraum näherungsweise als exponentielles Wachstum auffassen und durch eine Exponentialfunktion der Form

N (x) = a \cdot e^{b x}

(

a, b \in ℝ

) beschreiben.

N (x)

ist dabei die Zahl der Mobilfunkverträge in Millionen,

x

ist die seit Jahresende 1991 vergangene Zeit in Jahren. Beispielsweise ist

x = 8

für das Ende des Jahres 1999.

Bestimmen Sie a und b aus den Werten für die Jahre 1991 und 1999. Runden Sie b auf zwei Dezimalen.
[Ergebnis: a = 0,5; b = 0,48]

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Anwendungsaufgabe

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N (x) = a e^{b x}, (a, b \in ℝ)

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Allgemeine Exponentialfunktion

Die Funktion

f (x) = a \cdot e^{b \cdot x}

mit den Parametern

a, b \in ℝ

stellt die allgemeine Exponentialfunktion dar.
Für verschiedene Werte von

a, b

ergeben sich verschiedene Graphen von

f (x)

.

Zum Beispiel ist

f (x) = e^{x}

für

a = 1, b = 1

Jahr 91:

N (0) = a \cdot e^{b \cdot 0} \Rightarrow 0, 5 = a \cdot \underset{= 1}{\underset{︸}{e^{0}}} \Rightarrow a = 0, 5

Jahr 99:

N (8) = a \cdot e^{b \cdot 8} \Rightarrow 23, 4 = 0, 5 \cdot e^{b \cdot 8} \Rightarrow e^{b \cdot 8} = \frac{23, 4}{0, 5}

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Auflösen einer Exponentialgleichung

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

e^{x}

ist die Logarithmusfunktion

\ln x

, d.h.

\ln e^{x} = x

Beim Auflösen einer Exponentialgleichung greift man in der Regel auf das "Logarithmieren" zurück. Der Logarithmus wird auf beiden Seiten der Gleichung angewendet:

e^{x} = a \begin{matrix} \Rightarrow \\ ↑ \\ Logarithmieren \end{matrix} \ln e^{x} = \ln a \Rightarrow x = \ln a

\Rightarrow \ln e^{b \cdot 8} = \ln \frac{23, 4}{0, 5} \Rightarrow 8 b = \ln \frac{23, 4}{0, 5} \Rightarrow b = \frac{1}{8} \cdot \ln \frac{23, 4}{0, 5} \Rightarrow b = 0, 48

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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