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Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2e (6 BE)

Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D ebenfalls auf der Kugel

K_{1}

liegt. Alle Punkte D, für die die Pyramiden ABCD das Volumen 11 haben, bilden zwei Kreise auf der Kugelfläche (Nachweis nicht erforderlich).
Berechnen Sie zuerst die Höhe h dieser Pyramiden und anschließend mit Hilfe einer geeigneten Skizze den Radius R der beiden oben definierten Kreise.
[Zur Kontrolle:

h = \sqrt{11}

]

Lösung zu Teilaufgabe 2e

Höhen der Pyramide

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\bar{A B}

ist der Durchmesser von

K_{1}

, das Dreieck ABC befindet sich also im Thaleskreis, hat somit einen rechten Winkel bei C.

11 = V_{P y r . A, B, C, D} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \bar{A C} \cdot \bar{B C}) \cdot h =

\frac{1}{6} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 6 \\ 9 \\ - 9 \end{matrix})}^{2}} \cdot h = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{22} \cdot h = \sqrt{11} \cdot h

\Rightarrow h = \sqrt{11}

Skizze

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Radius eines Kreises bestimmen

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Teilaufgabe 2e

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Höhen der Pyramide

Skizze

Radius eines Kreises bestimmen

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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