Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2d (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Punkte

A (- 1 | 0 | - 2)

und

C (- 1 | 1 | - 1)

auf der Kugel

K_{1}

M_{1}

liegen, und bestimmen Sie die Koordinaten von B so, dass die Strecke

[A B]

ein Durchmesser von

K_{1}

ist.
[Teilergebnis:

B (5 | 10 | - 10)

]

Lösung zu Teilaufgabe 2d

Lage eines Punktes

Zu Zeigen ist

A, C \in K_{1}

Schritt einblenden / ausblenden

Kugelgleichung

Eine Kugel lässt sich durch die Gleichung

K : x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}

beschreiben, wobei x,y,z die Raumkoordinaten sind und r den Radius darstellt.

Ist M der Mittelpunkt der Kugel K, dann lautet die Gleichung

K : {(x - x_{M})}^{2} + {(y - y_{M})}^{2} + {(z - z_{M})}^{2} = r^{2}

K_{1} : {(\vec{x} - \underset{M_{1}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 6 \end{matrix})}})}^{2} = 50

K_{1} (A) : {(\underset{\vec{M_{1} A}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 6 \end{matrix})}})}^{2} = {(\begin{matrix} - 3 \\ 5 \\ 4 \end{matrix})}^{2} = 50 \Rightarrow A \in K_{1}

K_{1} (C) : {(\underset{\vec{M_{1} C}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 6 \end{matrix})}})}^{2} = {(\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ 5 \end{matrix})}^{2} = 50 \Rightarrow C \in K_{1}

\vec{O B} = \vec{O A} + 2 \cdot \vec{A M_{1}} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ - 10 \end{matrix})

\Rightarrow B (5 | 10 | - 10)

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Teilaufgabe 2e

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Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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