Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln

K_{1}

und

K_{2}

mit den Radien

5 \sqrt{2}

, deren Mittelpunkte

M_{1}

und

M_{2}

auf der Geraden h liegen.

Bestimmen Sie die Koordinaten von

M_{1}

und

M_{2}

. (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M1 bezeichnet.)
[Teilergebnis:

M_{1} (2 | 5 | - 6)

]

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Mittelpunkt der Kugel

Hesse-Normalform der Ebene E:

E^{H N F} = \frac{E}{| \vec{n_{E}} |} \Rightarrow E^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) - 1}{\sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})}^{2}}} = \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) - 1}{\sqrt{2}} = 0

Der Abstand von

M_{1}

bzw.

M_{2}

zur Ebene E ist

5 \sqrt{2}

, d.h.

d (M_{1}, E) = d (M_{2}, E) = E^{H N F} (M_{1}) = E^{H N F} (M_{2}) = \pm 5 \sqrt{2}

M_{1}

und

M_{2}

auf der Geraden h liegen, folgt:

d (M_{1}, E) = \frac{[(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) - 1}{\sqrt{2}} = \pm 5 \sqrt{2}

\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot [(2 + 0 \cdot μ) \cdot 0 + (1 - μ) \cdot 1 + (2 + 2 μ) \cdot (- 1) - 1] = \pm 5 \sqrt{2}

\Rightarrow 1 - μ - 2 - 2 μ - 1 = \pm 10

\Rightarrow

- 3 μ = \pm 10 + 2

\Rightarrow

\begin{matrix} - 3 μ_{1} & = & 12 \\ - 3 μ_{2} & = & - 8 \end{matrix}

\Rightarrow

\begin{matrix} μ_{1} & = & - 4 \\ μ_{2} & = & \frac{8}{3} \end{matrix}

\Rightarrow M_{1} (2 | 5 | - 6), M_{2} (2 | - \frac{5}{3} | \frac{22}{3})

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Mittelpunkt der Kugel

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?