Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Projiziert man h senkrecht auf E, so erhält man die Gerade

h_{E}

. Berechnen Sie den Winkel

ϕ

zwischen

h_{E}

und h in Grad auf eine Nachkommastelle gerundet.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel

ϕ

zwischen

h_{E}

und h ist gleich dem Winkel zwischen h und der Ebene E, sprich der Winkel zwischen den Richtungsvektor von h und den Normalenvektor

\vec{n_{E}}

von E.

Richtungsvektor von h ist

\underset{\vec{r}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})}}

Normalenvektor von E ist

\underset{\vec{n_{E}}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})}}

\Rightarrow \sin ϕ = | \frac{\vec{r} \cdot \vec{n_{E}}}{| \vec{r} | \cdot | \vec{n_{E}} |} | = | \frac{(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})}{\sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})}^{2}}} | = | \frac{- 3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} | = \frac{3}{\sqrt{10}}

\Rightarrow ϕ = \sin^{- 1} (\frac{3}{\sqrt{10}}) \approx 71, 6^{°}

2. Rechnungsweg:

Lotgerade durch h und E:

l : \vec{x} = \underset{O r t s v e k t o r v o n h}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})}} + δ \cdot \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})}}

l \cap E : [(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + δ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) - 1 = 0

\Rightarrow (2 + 0 \cdot δ) \cdot 0 + (1 + δ) \cdot 1 + (2 - δ) \cdot (- 1) - 1 = 0

\Rightarrow 1 + δ - 2 + δ - 1 = 0 \Rightarrow δ = 1

Schnittpunkt von l und E ist

F (2 | 2 | 1)

Schnittpunkt von h und E ist S (

g_{k} \in E

laut Aufgabe 1b)

\Rightarrow h_{E} = h_{S, F} = \vec{O S} + γ \cdot \vec{S F} = \vec{O S} + γ \cdot (\vec{O F} - \vec{O S}) =

= (\begin{matrix} 2 \\ \frac{5}{3} \\ \frac{2}{3} \end{matrix}) + γ \cdot [(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ \frac{5}{3} \\ \frac{2}{3} \end{matrix})] = (\begin{matrix} 2 \\ \frac{5}{3} \\ \frac{2}{3} \end{matrix}) + γ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ \frac{5}{3} \\ \frac{2}{3} \end{matrix}) + γ \cdot \underset{\vec{r_{h_{E}}}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}}

\cos ∡ (h, h_{E}) = \cos \underset{ϕ}{\underset{⏟}{∡ (\vec{r_{h}}, \vec{r_{h_{E}}})}} = \frac{\vec{r_{h}} \cdot \vec{r_{h_{E}}}}{| \vec{r_{h}} | \cdot | \vec{r_{h_{E}}} |} = \frac{(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}{\sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{10}}

\Rightarrow ϕ = \cos^{-1} (\frac{1}{\sqrt{10}}) \approx {71, 6}^{°}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

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Teilaufgabe 2a

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Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Vektoren

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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