Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Spiegelt man die Ebene E am Punkt

M_{1}

, so erhält man die Ebene

E^{*}

. Geben Sie eine Gleichung von

E^{*}

in Normalenform an.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Spiegelung an einer Ebene

Der Normalenvektor der Ebene E* ist gleich dem der Ebene E, also ist

\vec{n_{E *}} = \vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

Sei J ein beliebiger Punkt der Ebene E, z.B.

J (2 | 2 | 1)

(J erfüllt die Ebenengleichung).

Der Abstand zwischen E und E* ist

2 \cdot r = 2 \cdot 5 \sqrt{2}

Für den, um

2 \cdot r

in Richtung des Normalenvektors

\vec{n_{E}}

, verschobene Punkt J, sprich der Punkt J*, gilt

J^{*} \in E^{*}

und :

\vec{O J^{*}} = \vec{O J} + 2 \cdot 5 \sqrt{2} \cdot \frac{\vec{n_{E}}}{| \vec{n_{E}} |} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot 5 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 + 0 \\ 2 + 10 \\ 1 - 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 12 \\ - 9 \end{matrix})

E^{*} : \vec{x} \cdot \vec{n_{E}} = \vec{O J^{*}} \cdot \vec{n_{E^{*}}} \Rightarrow E^{*} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 12 \\ - 9 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = 21

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Teilaufgabe 2e

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Themen dieser Aufgabe:

Spiegelung an einer Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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