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Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Für welche Werte von k schneidet $g_{k}$ die Gerade h? Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S.
[Teilergebnis: $S (2 | \frac{5}{3} | \frac{2}{3})$ ]

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Schnitt zweier Geraden

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$g_{k} \cap h$ :

$g_{k} = h \Leftrightarrow (\begin{matrix} {- k}^{2} \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})$

$\Leftrightarrow \begin{matrix} - k^{2} + 3 λ = 2 \\ 2 λ = 1 - μ \\ - 1 + 2 λ = 2 + 2 μ \end{matrix}$

$\underset{a b z i e h e n}{\underset{3^{°} G l e i c h u n g}{\underset{v o n}{\underset{2^{°} G l e i c h u n g}{\Rightarrow}}}} - 1 = 1 + 3 μ \Rightarrow μ = - \frac{2}{3}$

$\underset{e i n s e t z e n}{\underset{i n 2^{°} G l e i c h u n g}{\Rightarrow}} 2 λ = 1 - (- \frac{2}{3}) \Rightarrow λ = \frac{5}{6}$

$\underset{e i n s e t z e n}{\underset{i n 2^{°} G l e i c h u n g}{\Rightarrow}} - k^{2} + 3 \cdot \frac{5}{6} = 2 \Rightarrow k^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Für $k = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ schneidet $g_{k}$ die Gerade h in einem Punkt.

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Der Schnittpunkt ist $S (2 | \frac{5}{3} | \frac{2}{3})$

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