Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (7 BE)

Die Parallelogrammfläche schneidet die

x_{1} x_{2}

-Ebene in der Strecke [GH]. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte G und H und tragen Sie die Strecke [GH] in die angelegte Zeichnung ein.
[Zur Kontrolle: (4|7|0) und (7|4|0)]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Schnitt Ebene und Gerade

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Um herauszufinden welche Parallelogrammseiten die

x_{1} x_{2}

- Ebene schneiden, muss man die Lage der Punkte genauer betrachten.
Die Punkte A(-2|5|-2) und B(1|2|-2) haben jeweils negative

x_{3}

Koordinaten und liegen somit unterhalb der

x_{1} x_{2}

- Ebene.
Die Punkte C(10|5|1) und D(7|8|1) haben jeweils positive

x_{3}

Koordinaten und liegen somit oberhalb der

x_{1} x_{2}

- Ebene.
Es schneiden also die Seiten [AD] und [BC] die

x_{1} x_{2}

- Ebene jeweils in einem Punkt.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Schnittpunkte werden ermittelt, indem die Geraden, auf denen die Parallelogrammseiten liegen, mit der

x_{1} x_{2}

- Ebene geschnitten werden.

g_{AD} : \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{a} + γ (\overset{⇀}{d} - \overset{⇀}{a})

g_{BC} : \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{b} + δ (\overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{b})

E_{x_{1} x_{2}} : x_{3} = 0

g_{AD} : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + γ (\begin{matrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

E_{x_{1} x_{2}} : x_{3} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

g_{AD} : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + γ (\begin{matrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

E_{x_{1} x_{2}} : x_{3} = 0

E_{x_{1} x_{2}} :

\overset{⇀}{x} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0

Um den Schnittpunkt zu berechen, setzt man die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein.

[(\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + γ (\begin{matrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})] (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0

- 2 + 3 γ = 0

γ = \frac{2}{3}

g_{AD} \cap E_{x_{1} x_{2}}

\Rightarrow 0 = - 2 + 3 γ

γ = \frac{2}{3}

\overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + \frac{2}{3} (\begin{matrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow G (4 | 7 | 0)

g_{BC} : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) + δ (\begin{matrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

E_{x_{1} x_{2}} : x_{3} = 0

g_{BC} \cap E_{x_{1} x_{2}}

\Rightarrow 0 = - 2 + 3 δ

δ = \frac{2}{3}

\overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) + \frac{2}{3} (\begin{matrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow H (7 | 4 | 0)

Skizze

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Themen dieser Aufgabe:

Schnitt Ebene und Gerade

Skizze

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