Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Zeigen Sie, dass das Parallelogramm ABCD in einer Parallelebene zur Ebene E liegt, die nicht mit E identisch ist.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lagebeziehung von Ebenen

Ebene

E_{ABC}

in Parameterform:

E_{ABC}^{P} : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + α (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) + β (\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Ebene aus 3 Punkten:

A(-2|5|-2), B(1|2|-2), C(10|5|1)

E^{P} : \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{a} + α (\overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{a}) + β (\overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{a})

in diesem Beispiel:

E_{ABC}^{P} : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + α [(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix})] + β [(\begin{matrix} 10 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix})]

E_{ABC}^{P} : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) + α (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) + β (\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

um diese Ebene in Normalform umzuwandeln, muss der Normalenvektor

\overset{⇀}{n}

gefunden werden.
Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene und damit auch senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren.
Das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Richtungsvektor beträgt also jeweils 0.

Es muss gelten:

(\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = 0

und

(\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = 0

Setzt man

\overset{⇀}{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix})

sind beide Bedingungen erfüllt.
Also folgt:

E_{ABC}^{N} : \overset{⇀}{x} · \overset{⇀}{n} = \overset{⇀}{a} · \overset{⇀}{n}

E_{ABC}^{N} : \overset{⇀}{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) = 11

Ebene

E_{ABC}

in Normalform:

E_{ABC}^{N} : \overset{⇀}{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) = 11

gegebene Ebene

E : x_{1} + x_{2} - 4 x_{3} + 7 = 0

E^{N} : \overset{⇀}{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) + 7 = 0

Die beiden Ebenen besitzen den gleichen Normalenvektor

\overset{⇀}{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix})

und sind somit parallel zueinander.

self::rueckwandlungAmp( href="/al_upload/2004/LK/Analytische%20Geometrie/V/1b/loesung/abi2004_geo_lk_5_1b.wrl" target="_blank", )

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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