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Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Berechnen Sie den Winkel, den diese Mantellinie mit der ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$- Achse einschließt.

 

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Winkel zwischen zwei Vektoren

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${\displaystyle x_1}$ - Achse: ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$
${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 0\end{array}\right)}$

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Skalarprodukt

Skalarprodukt:

${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{a}\text{·}\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|\text{·}\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|\text{·}cos\alpha }$

also:

${\displaystyle cos\alpha =\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{a}\text{·}\stackrel{\rightharpoonup }{b}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|\text{·}\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|}}$

${\displaystyle cos\alpha =\frac{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 0\end{array}\right)}{1\text{·}\sqrt{68}}}$
${\displaystyle cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{4\text{·}17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}}$  ${\displaystyle \Rightarrow \alpha =76°}$

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