Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (4 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(4| -1| 4), B(6| 7| 4) und C(6| 7| 8) sowie die Ebene

E : x_{3} - 6 = 0

gegeben.

Bestätigen Sie, dass das Dreieck ABC bei B rechtwinklig ist, und beschreiben Sie, welche besondere Lage bezüglich der

x_{1} x_{2}

- Ebene die beiden Katheten des Dreiecks jeweils haben.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gegeben sind die Punkte A(4| -1| 4), B(6| 7| 4) und C(6| 7| 8) sowie die Ebene

E : x_{3} - 6 = 0

Wenn das Dreieck ABC bei B rechtwinklig ist, stehen die Vektoren

\overset{⇀}{AB}

und

\overset{⇀}{BC}

senkrecht aufeinander.
Es gilt dann:

\overset{⇀}{AB} · \overset{⇀}{BC} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Skalarprodukt:

\overset{⇀}{a} · \overset{⇀}{b} = | \overset{⇀}{a} | · | \overset{⇀}{b} | · cosα

oder

\overset{⇀}{a} · \overset{⇀}{b} = {ax}_{1} {bx}_{1} + {ax}_{2} {bx}_{2} + {ax}_{3} {bx}_{3}

Das Skalarprodukt ist eine reelle Zahl.
Da die Größe des Skalarprodukts abhängig vom Winkel ist, den die beiden Vektoren einschließen, kann man folgende Aussagen zu Winkeln und Größe des Skalarprodukts treffen:

\vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \Rightarrow α

ist ein stumpfer Winkel (

\cos α < 0

für

90^{\circ} < α < 270^{\circ}

)

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow α

ist ein rechter Winkel (

\cos α = 0

für

α = 90^{\circ}

)

\vec{a} \cdot \vec{b} > 0 \Rightarrow α

ist ein spitzer Winkel (

\cos α > 0

für

0^{\circ} < α < 90^{\circ}

)

\overset{⇀}{AB} = (\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})

und

\overset{⇀}{BC} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

\overset{⇀}{AB} · \overset{⇀}{BC} = (\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow

Das Dreieck ABC ist bei B rechtwinklig.

Besondere Lage im Koordinatensystem

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Seite AB des Dreiecks ABC liegt parallel zur

x_{1} x_{2}

- Ebene.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die beiden Punkte A(4|-1|4) und B(6|7|4) haben die gleiche

x_{3}

- Koordinate. A und B haben also die gleiche Höhe im Koordinatensystem.

\Rightarrow \overset{⇀}{AB} = (\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}); x_{3} = 0

Die Seite AB verläuft somit parallel zur

x_{1} x_{2}

- Ebene.

Die Seite BC des Dreiecks ABC steht senkrecht zur

x_{1} x_{2}

- Ebene.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Punkte B(6|7|4) und C(6|7|7|8) unterscheiden sich nur in der

x_{3}

- Koordinate. Sie unterscheiden sich also nur in ihrer Höhe.

\Rightarrow \overset{⇀}{BC} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

Die Seite BC verläuft somit senkrecht zur

x_{1} x_{2}

- Ebene.

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Teilaufgabe 2g

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Themen dieser Aufgabe:

Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

Besondere Lage im Koordinatensystem

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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