Lösung Abitur Bayern 2025 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (5 BE)

Die tiefste Stelle eines Schiffs bewegt sich im Modell auf der Gerade

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ - 17 \\ - 8 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

λ \in ℝ

. Beurteilen Sie anhand einer Rechnung, ob das Schiff das Sperrwerk passieren kann, wenn das Sperrtor geöffnet ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Koordinaten von Punkten ermitteln

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Die tiefste Stelle des Schiffs lässt sich mit Hilfe des Allgemeinen Geraden Punkts angeben:

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ - 17 \\ - 8 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 17 + λ \\ - 8 \end{matrix})

Daraus ergibt sich, dass die tiefste Stelle des Schiffs bei einer Wassertiefe von

8 m

liegt.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da die Wasseroberfläche durch die

x_{1} x_{2} -

Ebene dargestellt wird, beschreibt die

x_{3} -

Koordinate eines Punktes seine Tiefe im Wasser.

Abstand Punkt - Ebene

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Die Tiefe des Sperrtors lässt sich durch den Abstand des Ursprungs, der Teil der

x_{1} -

Achse ist, zur Ebene

E

ermitteln.

E : 2 x_{2} - 3 x_{3} - 26 = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

| \vec{n_{E}} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{9} = \sqrt{13}

Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors

| \vec{n_{E}} |

.

Beispiel:

E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

E^{HNF} : \frac{1}{\sqrt{13}} (2 x_{2} - 3 x_{3} - 26) = 0

Einsetzen des Ursprungs in die

E^{H N F}

| \frac{1}{\sqrt{13}} (2 \cdot (0) - 3 \cdot (0) - 26) | = | \frac{- 26}{\sqrt{13}} | \approx 7, 21 m

Da die tiefste Stelle des Schiffs bei

8 m

liegt und damit tiefer als die tiefste Stelle des Sperrtors mit

7, 21 m

, kann das Schiff das Sperrtor nicht passieren.

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Teilaufgabe Teil B f

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Themen dieser Aufgabe:

Koordinaten von Punkten ermitteln

Abstand Punkt - Ebene

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