Lösung Abitur Bayern 2025 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (4 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Koordinatenform und geben Sie die besondere Lage von

E

im Koordinatensystem an.

(zur Kontrolle: $E : 2 x_{2} - 3 x_{3} - 26 = 0$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

\vec{AB} \times \vec{AD} = (\begin{matrix} 0 \\ 18 \\ 12 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 60 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 720 \\ 1080 \end{matrix})

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Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = - \frac{1}{360} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 720 \\ 1080 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})

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Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

- \frac{1}{360}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{O A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{matrix})}}

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Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E

\vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{O P}

Hier (

O P

ist Aufpunkt):

E

2 x_{2} - 3 x_{3} = 0 - 10 + 36

E

2 x_{2} - 3 x_{3} = 26

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Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

Die

x_{1}

-Koordinate von

\vec{n_{E}}

ist Null und die Konstante

d

ist ungleich

0

, somit ist der Ursprung nicht Teil der Ebene.

\Rightarrow

E

verläuft parallel zur

x_{1}

-Achse.

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Themen dieser Aufgabe:

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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