Lösung Abitur Bayern 2025 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (3 BE)

Gegeben sind die Punkte

A (30 | - 5 | - 12)

B (30 | 13 | 0)

C (- 30 | 13 | 0)

und

D (- 30 | - 5 | - 12)

, die in der Ebene

E

liegen.

Begründen Sie, dass das Viereck

ABCD

ein Rechteck ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Lagebeziehung von Vektoren

\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 30 \\ 13 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 18 \\ 12 \end{matrix})

\vec{D C} = \vec{O C} - \vec{O D} = (\begin{matrix} - 30 \\ 13 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 18 \\ 12 \end{matrix}) = \vec{A B}

\Rightarrow

\vec{A B} ∥ \vec{D C}

und

| \vec{A B} | = | \vec{D C} |

\Rightarrow

A B C D

ist ein Parallelogramm

\vec{A D} = \vec{O D} - \vec{O A} = (\begin{matrix} - 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 60 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A B} \circ \vec{A D} = (\begin{matrix} 0 \\ 18 \\ 12 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 60 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0 + 0 + 0 = 0

\Rightarrow

\vec{A B} ⊥ \vec{A D}

\Rightarrow

A B C D

ist ein Rechteck

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Vektoren

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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