Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2 (5 BE)

In Deutschland waren zu Beginn des Jahres 2021 etwa 320 000 Pkw mit rein elektrischem Antrieb und 280 000 Plug-in-Hybride zugelassen, also insgesamt etwa 600 000 Pkw mit Elektromotor. Der Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand aller in Deutschland zugelassenen Pkw betrug rund 1,2 %. Bestimmen Sie die Anzahl der Pkw, die aus diesem Gesamtbestand mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 97 % mindestens ein Pkw mit rein elektrischem Antrieb darunter ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2

Binomialverteilung

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Anteil der Pkw mit rein elektrischem Antrieb:

\frac{320.000}{320.000 + 280.000} \cdot 1, 2 % = 0, 64 %

Text analysieren und Daten herauslesen:

"Bestimmen Sie die Anzahl der Pkw..."

\Rightarrow

n

ist gesucht

"... mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

97 %

..."

\Rightarrow

P > 0, 97

"... mindestens ein Pkw mit rein elektrischem Antrieb "

\Rightarrow

X \geq 1

Es muss also gelten:

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Kette

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette der Länge

n

(Pkw aus dem Gesamtbestand) mit der Trefferwahrscheinlichkeit

0, 64 %

angesehen werden.

P_{0, 0064}^{n} (X \geq 1) > 0, 97

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Gegenereignis

Wahrscheinlichkeiten des Typs

P (mind. 1 Treffer)

können meist leicht über das Gegenereignis bestimmt werden.

P (mind. 1 Treffer) = 1 - P (kein Treffer)

1 - P_{0, 0064}^{n} (X = 0) > 0, 97

|

- 1

- P_{0, 0064}^{n} (X = 0) > - 0, 03

|

\cdot (- 1)

(da die Ungleichung durch eine negative Zahl geteilt wird, ändert sich das Relationszeichen)

P_{0, 0064}^{n} (X = 0) < 0, 03

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Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

Spezialfall

k = 0

P (0 Treffer) = P_{p}^{n} (Z = 0) = \underset{1}{\underset{︸}{(\binom{n}{0})}} \cdot \underset{1}{\underset{︸}{p^{0}}} \cdot (1 - p)^{n - 0}

\Rightarrow P (0 Treffer) = (1 - p)^{n}

(1 - 0, 0064)^{n} < 0, 03

0, 9936^{n} < 0, 03

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Rechenweg

0, 9936^{n} < 0, 03

|

\ln ()

\ln (0, 9936^{n}) < \ln (0, 03)

n \cdot \ln (0, 9936) < \ln (0, 03)

|

: \ln (0, 9936)

(da die Ungleichung durch eine negative Zahl geteilt wird, ändert sich das Relationszeichen)

n > \frac{\ln (0, 03)}{\ln (0, 9936)}

n > \frac{\ln (0, 03)}{\ln (0, 9936)} \approx 546, 14

\Rightarrow

n \geq 547

(Pkw)

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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