Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1d (3 BE)

Für einen bestimmten Wert

n \in {1; 2; 3; \dots}

werden für

p \in] 0; 1 [

die binomialverteilten Zufallsgrößen

Z_{p}

mit den Parametern

n

und

p

betrachtet. Weisen Sie nach, dass unter diesen Zufallsgrößen diejenige mit

p = 0, 5

die größte Varianz hat.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1d

Varianz einer Zufallsgröße

Var (Z_{p}) = n \cdot p \cdot (1 - p)

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Varianz einer binomialverteilten Zufallsgröße

Ist

X

binomialverteilt, dann gilt für die Varianz von

X

Var (X) = n \cdot p \cdot (1 - p)

n =

Länge der Bernoulli-Kette

p =

Trefferwahrscheinlichkeit

Der Graph der Funktion

p \mapsto n \cdot p \cdot (1 - p)

ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen 0 und 1. Der Scheitelpunkt (Hochpunkt) liegt zwischen den 2 Nullstellen, also bei

p = 0, 5

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Themen dieser Aufgabe:

Varianz einer Zufallsgröße

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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