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Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe Teil B 1c  (5 BE)
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von f . Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1c
Monotonieverhalten einer Funktion



f ( x ) = x ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2
Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ( x ) = ( 1 - x 2 ) ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2 ︸ > 0 > 0 (s. Teilaufgabe Teil B 1b)

Vorzeichen der ersten Ableitung f ′ ( x ) untersuchen:
Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ( x ) = ( 1 - x 2 ) ︸ > 0 ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2 ︸ > 0 > 0 für x ∈ ] - 1 ; 1 [

f ′ ( x ) = ( 1 - x 2 ) ︸ < 0 ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2 ︸ > 0 < 0 für x ∈ ] - ∞ ; - 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞ [
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ G f ist für x ∈ [ - 1 ; 1 ] streng monoton steigend

⇒ G f ist für x ∈ ] - ∞ ; - 1 ] ∪ [ 1 ; + ∞ [ streng monoton fallend
Skizze



f ( 1 ) = 1 ⋅ e - 1 2 + 1 2 = 1 ⋅ e 0 = 1 ⋅ 1 = 1

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Themen dieser Aufgabe:
Monotonieverhalten einer Funktion
Skizze
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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