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Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe Teil B 1a  (4 BE)
Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f ( x ) = x ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2 . Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von f ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von f , dass der Graph von f symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass f genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von f für x → + ∞ .
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a
Symmetrieverhalten einer Funktion



f ( x ) = x ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2
Schritt einblenden / ausblenden
f ( - x ) = - x ⋅ e - 1 2 ( - x ) 2 + 1 2 = - x ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2 = - f ( x )
Nullstellen einer Funktion



Ansatz: f ( x ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
0 = x ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2 ︸ > 0
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ x = 0
Grenzwert bestimmen



lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ x ︸ → + ∞ ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2 ︷ → - ∞ ︸ → 0 = 0
Schritt einblenden / ausblenden
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Themen dieser Aufgabe:
Symmetrieverhalten einer Funktion
Nullstellen einer Funktion
Grenzwert bestimmen
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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