Abitur 2022 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

g : x \mapsto \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 9}

mit maximaler Definitionsmenge

D_{g}

Teilaufgabe Teil A 1a (2 BE)

Geben Sie

D_{g}

sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von

g

an.

Teilaufgabe Teil A 1b (3 BE)

Zeigen Sie, dass der Graph von

g

in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.

Betrachtet werden die in

ℝ

definierten Funktionen

f

und

F

, wobei

F

eine Stammfunktion von

f

ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{F}

von

F

Teilaufgabe Teil A 2a (2 BE)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals

\int_{1}^{7} f (x) dx

Teilaufgabe Teil A 2b (3 BE)

Bestimmen Sie den Funktionswert von

f

an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1.

Teilaufgabe Teil A 3a (2 BE)

Gegeben ist die Funktion

h : x \mapsto \ln (2 x - 3)

mit Definitionsmenge

D_{h} =] \frac{3}{2}; + \infty [

. Geben Sie die Nullstelle von

h

sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von

h

an.

Teilaufgabe Teil A 3b (3 BE)

Die in

ℝ

definierte Funktion

f

besitzt die Nullstelle

x = 2

, außerdem gilt

f^{'} (x) > 0

für alle

x \in ℝ

. Abbildung 2 zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Betrachtet wird die Funktion

g : x \mapsto \ln (f (x))

mit maximaler Definitionsmenge

D_{g}

. Geben Sie

D_{g}

an und ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 diejenige Stelle

x

, für die

g^{'} (x) = f^{'} (x)

gilt.

Gegeben sind die in

ℝ

definierten Funktionen

f_{a}

mit

f_{a} (x) = a \cdot e^{- x} + 3

und

a \in ℝ ∖ {0}

Teilaufgabe Teil A 4a (1 BE)

Zeigen Sie, dass

f_{a}^{'} (0) = - a

gilt.

Teilaufgabe Teil A 4b (4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von

f_{a}

im Punkt

(0 | f_{a} (0))

.
Bestimmen Sie diejenigen Werte von

a

, für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die x-Achse in einem Punkt schneidet, dessen x-Koordinate größer als

\frac{1}{2}

ist.

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

f

mit

f (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}}

. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von

f

ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Teilaufgabe Teil B 1a (4 BE)

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von

f

, dass der Graph von

f

symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass

f

genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von

f

für

x \to + \infty

Teilaufgabe Teil B 1b (2 BE)

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion

f^{'}

von

f

.

(zur Kontrolle:

f^{'} (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}}

)

Teilaufgabe Teil B 1c (5 BE)

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von

f

. Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

Teilaufgabe Teil B 1d (3 BE)

Ist

g^{'}

die erste Ableitungsfunktion einer in

ℝ

definierten Funktion

g

, so gilt bekanntlich

\int_{u}^{v} g^{'} (x) \cdot e^{g (x)} dx = {[e^{g (x)}]}_{u}^{v}

. Berechnen Sie damit den Wert des Terms

\int_{0}^{1} f (x) dx

Teilaufgabe Teil B 1e (3 BE)

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ und für jede reelle Zahl $w > 2022$ gilt $F (w) - F (0) \approx \int_{0}^{2022} f (x) dx$ .

Betrachtet wird nun die Schar der in

ℝ

definierten Funktionen

f_{a} : x \mapsto x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}

mit

a \in ℝ

Teilaufgabe Teil B 2a (3 BE)

Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt

(1 | 1)

enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von

a

an.

Teilaufgabe Teil B 2b (2 BE)

Der Graph der Funktion

f_{0}

ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der y-Achse an.

Teilaufgabe Teil B 2c (3 BE)

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen

a

a_{1}

und

a_{2}

:

-

f_{a} (0) = 0

f_{a}^{'} (0) = f_{0}^{'} (0)

f_{a_{1}} (x) = f_{a_{2}} (x)

\Leftrightarrow

a_{1} = a_{2}

oder

x = 0

Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

Teilaufgabe Teil B 2d (3 BE)

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von

a

richtig ist:

Wird der Graph von $f_{a}$ mit dem gleichen Faktor $k > 0$ sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I

Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II

Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Die Extremstellen von

f_{a}

stimmen mit den Lösungen der Gleichung

a \cdot x^{2} = 1

überein.

Teilaufgabe Teil B 2e (3 BE)

Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von a an und begründen Sie Ihre Angabe.

Teilaufgabe Teil B 2f (3 BE)

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade.
Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung

y = x

handelt.

Teilaufgabe Teil B 2g (6 BE)

Für jeden positiven Wert von

a

bilden der Hochpunkt

(v | f_{a} (v))

des Graphen von

f_{a}

, der Punkt

(0 | \frac{2}{v})

, der Koordinatenursprung und der Punkt

(v | 0)

die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von

a

, für den das Viereck den Flächeninhalt 49 hat.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1a

Teilaufgabe Teil A 1b

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Teilaufgabe Teil A 2b

Teilaufgabe Teil A 3a

Teilaufgabe Teil A 3b

Teilaufgabe Teil A 4a

Teilaufgabe Teil A 4b

Teilaufgabe Teil B 1a

Teilaufgabe Teil B 1b

Teilaufgabe Teil B 1c

Teilaufgabe Teil B 1d

Teilaufgabe Teil B 1e

Teilaufgabe Teil B 2a

Teilaufgabe Teil B 2b

Teilaufgabe Teil B 2c

Teilaufgabe Teil B 2d

Teilaufgabe Teil B 2e

Teilaufgabe Teil B 2f

Teilaufgabe Teil B 2g

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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