Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 3b (3 BE)

Die in

ℝ

definierte Funktion

f

besitzt die Nullstelle

x = 2

, außerdem gilt

f^{'} (x) > 0

für alle

x \in ℝ

. Abbildung 2 zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Betrachtet wird die Funktion

g : x \mapsto \ln (f (x))

mit maximaler Definitionsmenge

D_{g}

. Geben Sie

D_{g}

an und ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 diejenige Stelle

x

, für die

g^{'} (x) = f^{'} (x)

gilt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 3b

Definitionsbereich bestimmen

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g (x) = \ln (f (x))

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Definitionsbereich der Logarithmusfunktion

g (x)

ist eine Logarithmusfunktion des Typs

\ln (f (x))

.

Die

\ln

-Funktion ist nur für positive Werte in ihrem Argument definiert. Somit gilt für die Argumentfunktion:

f (x) > 0

f (x) > 0

für

x \in] 2; + \infty [

\Rightarrow

D_{g} =] 2; + \infty [

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

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g^{'} (x) = \frac{1}{f (x)} \cdot f^{'} (x) = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}

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Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel:

h (x) = u (v (x))

\Rightarrow

h^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Kettenregel für Logarithmusfunktionen:

g (x) = \ln (f (x))

\Rightarrow

g^{'} (x) = \frac{1}{f (x)} \cdot f^{'} (x)

g^{'} (x) = f^{'} (x)

\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = f^{'} (x)

\Leftrightarrow

f (x) = 1

\Leftrightarrow

x = 4

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Definitionsbereich bestimmen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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