Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (4 BE)

Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche

IJKL

liegt auf der Kante

[F G]

. Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide 2 betragen kann.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Geradengleichung aufstellen

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Strecke

[F G]

\vec{X} = \underset{\vec{F}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})}} + α \cdot \underset{x_{2} -Achse}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}}

α \in [0; 5]

Allgemeiner Punkt auf der Strecke:

X_{n} (5 | α | 5)

Abstand Punkt - Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

T : 5 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} = 30

\vec{n_{T}} = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

| \vec{n_{E}} | = | (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) | = \sqrt{5^{2} + 4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{66}

Hesse-Normalenform

T^{HNF}

der Ebene aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors

| \vec{n_{E}} |

.

Beispiel:

E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

T^{HNF} : \frac{5 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} - 30}{\sqrt{66}} = 0

Abstand bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand

d (P, E)

des Punktes zur Ebene.

Beispiel:

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

P (1 | 3 | - 6)

d (P, E) = | \frac{1}{3} \cdot (1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) - 4) | = | - \frac{9}{3} | = 3

h = d (X_{n}, T) = | \frac{5 \cdot 5 + 4 \cdot α + 5 \cdot 5 - 30}{\sqrt{66}} | = | \frac{4 α + 20}{\sqrt{66}} |

Prüfen, ob die Höhe 2 betragen kann:

| \frac{4 α + 20}{\sqrt{66}} | = 2

\frac{4 α + 20}{\sqrt{66}} = \pm 2

|

\cdot \sqrt{66}

4 α + 20 = \pm 2 \cdot \sqrt{66}

|

- 20

4 α = \pm 2 \cdot \sqrt{66} - 20

|

: 4

α_{1, 2} = \frac{\pm 2 \cdot \sqrt{66} - 20}{4}

\Rightarrow

α_{1} = \frac{2 \cdot \sqrt{66} - 20}{4} \approx - 0, 94

\Rightarrow

α_{2} = \frac{- 2 \cdot \sqrt{66} - 20}{4} \approx - 9, 06

\Rightarrow

h \neq 2

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Abstand Punkt - Ebene

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Tipp:

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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