Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (4 BE)

Die Abbildung zeigt den Würfel

A B C D E F G H

mit

A (0 | 0 | 0)

und

G (5 | 5 | 5)

in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene

T

schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten

I (5 | 0 | 1)

J (2 | 5 | 0)

K (0 | 5 | 2)

und

L (1 | 0 | 5)

Zeichnen Sie das Viereck

I J K L

in die Abbildung ein und zeigen Sie, dass es sich um ein Trapez handelt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Skizze

Lagebeziehung von Vektoren

\vec{I L} = \vec{L} - \vec{I} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

\vec{J K} = \vec{K} - \vec{J} = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = k \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

\begin{matrix} k = 2 \\ k \in ℝ \\ k = 2 \end{matrix}

\Rightarrow

\vec{I L} = 2 \cdot \vec{J K}

\vec{I L}

ist ein Vielfaches von

\vec{J K}

, also parallel.

Länge eines Vektors

\vec{I J} = \vec{J} - \vec{I} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 5 \\ - 1 \end{matrix})

\vec{L K} = \vec{K} - \vec{L} = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ - 3 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{I J} | = \sqrt{(- 3)^{2} + 5^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{35}

| \vec{L K} | = \sqrt{(- 1)^{2} + 5^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{35}

\Rightarrow

| \vec{I J} | = | \vec{L K} |

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Lagebeziehung von Vektoren

Länge eines Vektors

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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