Abitur 2019 Mathematik Analytische Geometrie VI

Gegeben sind die beiden Kugeln

k_{1}

mit Mittelpunkt

M_{1} (1 | 2 | 3)

und Radius 5 sowie

k_{2}

mit Mittelpunkt

M_{2} (- 3 | - 2 | 1)

und Radius 5.

Teilaufgabe Teil A 1a (2 BE)

Zeigen Sie, dass sich

k_{1}

und

k_{2}

schneiden.

Teilaufgabe Teil A 1b (3 BE)

Die Schnittfigur von

k_{1}

und

k_{2}

ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.

Teilaufgabe Teil A 2a (2 BE)

Die Ebene

E : 3 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 6

enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.

Teilaufgabe Teil A 2b (3 BE)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Die Abbildung zeigt den Würfel

A B C D E F G H

mit

A (0 | 0 | 0)

und

G (5 | 5 | 5)

in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene

T

schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten

I (5 | 0 | 1)

J (2 | 5 | 0)

K (0 | 5 | 2)

und

L (1 | 0 | 5)

Teilaufgabe Teil B a (4 BE)

Zeichnen Sie das Viereck

I J K L

in die Abbildung ein und zeigen Sie, dass es sich um ein Trapez handelt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

Teilaufgabe Teil B b (3 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

T

in Normalenform.

(zur Kontrolle:

T : 5 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} - 30 = 0

)

Für

a \in ℝ^{+}

ist die Gerade

g_{a} : \vec{X} = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 0 \\ 3, 5 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 10 a \\ \frac{2}{a} \end{matrix})

mit

λ \in ℝ

gegeben.

Teilaufgabe Teil B c (3 BE)

Bestimmen Sie den Wert von

a

, sodass die Gerade

g_{a}

die Würfelfläche CDHG in ihrem Mittelpunkt schneidet.

Für jedes

a \in ℝ^{+}

liegt die Gerade

g_{a}

in der Ebene

U

mit der Gleichung

x_{1} = 2, 5

Teilaufgabe Teil B d (2 BE)

Ein beliebiger Punkt

P (p_{1} | p_{2} | p_{3})

des Raums wird an der Ebene

U

gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts

P^{'}

in Abhängigkeit von

p_{1}

p_{2}

und

p_{3}

an.

Teilaufgabe Teil B e (4 BE)

Spiegelt man die Ebene

T

U

, so erhält man die von

T

verschiedene Ebene

T^{'}

. Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von

a

die Gerade

g_{a}

in der Ebene

T

liegt, und begründen Sie, dass diese Gerade

g_{a}

die Schnittgerade von

T

und

T^{'}

ist.

Teilaufgabe Teil B f (4 BE)

Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche

IJKL

liegt auf der Kante

[F G]

. Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide 2 betragen kann.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1a

Teilaufgabe Teil A 1b

Teilaufgabe Teil A 2a

Teilaufgabe Teil A 2b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Lösung als Video:

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!