Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (3 BE)

Für

a \in ℝ^{+}

ist die Gerade

g_{a} : \vec{X} = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 0 \\ 3, 5 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 10 a \\ \frac{2}{a} \end{matrix})

mit

λ \in ℝ

gegeben.

Bestimmen Sie den Wert von

a

, sodass die Gerade

g_{a}

die Würfelfläche CDHG in ihrem Mittelpunkt schneidet.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Parameterwerte ermitteln

Mittelpunkt der Würfelfläche

C D H G

M (2, 5 | 5 | 2, 5)

Schritt einblenden / ausblenden

Punktkoordinaten

Einsetzen

Liegt ein Punkt auf einer Geraden, so erfüllen die Punktkoordinaten die Geradengleichung.

Hier wird der Punkt

M

in die Geradengleichung von

g_{a}

eingesetzt.

(\begin{matrix} 2, 5 \\ 5 \\ 2, 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 0 \\ 3, 5 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 10 a \\ \frac{2}{a} \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} I. & 2, 5 & = & 2, 5 \\ II. & 5 & = & - 10 a λ \\ III. & 2, 5 & = & 3, 5 + λ \frac{2}{a} \end{matrix}

III.

nach

λ

auflösen:

2, 5 = 3, 5 + λ \frac{2}{a}

| - 3, 5

- 1 = λ \cdot \frac{2}{a}

| \cdot \frac{a}{2}

\Rightarrow

λ = - \frac{a}{2}

λ = - \frac{a}{2}

II.

einsetzen:

5 = - 10 a \cdot (- \frac{a}{2})

5 = 5 a^{2}

a^{2} = 1

\Rightarrow

a = 1

, da

a \in ℝ^{+}

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Parameterwerte ermitteln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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