Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B e (5 BE)

Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B durch eine veränderte Aufbereitung des Saatguts auf mehr als

70 %

erhöht hat. Deshalb soll die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens

70 %

." auf einem Signifikanzniveau von

5 %

getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B e

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Text analysieren und Daten herauslesen:

Nullhypothese:

H_{0} : p \leq 0, 7

Stichprobenumfang:

n = 100

Signifikanzniveau:

α = 5 %

Annahmebereich von

H_{0}

A = [0, k]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [k + 1, 100]

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Nullhypothese

Da hier die Nullhypothese "

p \leq 0, 7

" bzw. "höchstens

70 %

" lautet, liegt der Annahmebereich links und der Ablehnungsbereich rechts.

Fehler 1. Art bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art", wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall, wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

Z \geq k + 1

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 7}^{100} (X \geq k + 1) \leq 0, 05

P_{0, 7}^{100} (X \geq k + 1) \leq 0, 05

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P(mindestens k+1 Treffer) = 1 - P(höchstens k Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (X \geq k + 1) = 1 - P (X \leq k)

1 - P_{0, 7}^{100} (X \leq k) \leq 0, 05

|

- 1

- P_{0, 7}^{100} (X \leq k) \leq - 0, 95

|

\cdot (- 1)

(da die Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wird, ändert sich das Relationszeichen)

P_{0, 7}^{100} (X \leq k) \geq 0, 95

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k \leq 77

Entscheidungsregel:

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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