Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (5 BE)

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualität A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von

95 %

, eines der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von

70 %

.
Ein Anbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen,

65 %

aller gekauften Samenkörner sind von der Qualität A.

In einem Gedankenexperiment werden die eingekauften Samenkörner zusammengeschüttet und gemischt. Bestimmen Sie mithilfe eines beschrifteten Baumdiagramms

$α)$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt;

$β)$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn, das nach der Saat keimt, von der Qualität B ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Wahrscheinlichkeit

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P (A) = 0, 65

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Ein Samenkorn der höheren Qualität $A$ keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von $95 %$ , eines der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von

70 %

\Rightarrow

P_{A} (K) = 0, 95

Ein Samenkorn der höheren Qualität

A

keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von

95 %

, eines der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von $70 %$ .

\Rightarrow

P_{B} (K) = 0, 7

P_{A} (K) = 0, 95

P_{B} (K) = 0, 7

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1. Pfadregel

2. Pfadregel

1. Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.

Zum Beispiel:

P (A \cap K) = P (A) \cdot P_{A} (K) = 0, 65 \cdot 0, 95

2. Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der für dieses Ereignis zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.

In diesem Fall:

P (K) = P (A \cap K) + P (B \cap K)

α)

P (K) = 0, 65 \cdot 0, 95 + 0, 35 \cdot 0, 7 = 0, 6175 + 0, 245 = 86, 25 %

Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Fall

β)

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Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

Die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts geteilt durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung.

Hinweis:

P (A \cap B) = P (B \cap A)

P_{K} (B) = \frac{P (K \cap B)}{P (K)}

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1. Pfadregel

1. Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.

P (K \cap B) = P (B) \cdot P_{B} (K) = 0, 35 \cdot 0, 7

P_{K} (B) = \frac{0, 35 \cdot 0, 7}{0, 8625} \approx 28, 4 %

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Themen dieser Aufgabe:

Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

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