Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 2b (3 BE)

Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:

Es wird zunächst ein Einsatz von 1 € eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel schwarz ist,wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.

Ermitteln Sie, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 2b

Baumdiagramm erstellen

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E :

"Kugel ist schwarz"

\bar{E} :

"Kugel ist weiß"

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Ereignis

Zunächst wird eine Urne ausgesucht - die Wahrscheinlichkeit dafür ist für alle Urnen gleich groß

(\frac{1}{3})

. Im Anschluss wird eine Kugel gezogen; diese kann weiß oder schwarz sein. Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen, ist abhängig davon aus welcher Urne gezogen wird.

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1. Pfadregel

2. Pfadregel

1. Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.

Zum Beispiel:

P (A \cap S) = P (A) \cdot P_{A} (S) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

2. Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der für dieses Ereignis zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.

In diesem Fall:

P (E) = P (A \cap S) + P (B \cap S)

P (E) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{18}

P (\bar{E}) = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}

Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen:

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für den Erwartungswert dieser Zufallsgröße:

E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i}) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

E (X) = x \cdot \frac{5}{18} + 0 \cdot \frac{13}{18} = \frac{5}{18} x

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Es soll gelten:

E (X) = 1

\frac{5}{18} x = 1

x = \frac{18}{5} = 3, 60 €

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Baumdiagramm erstellen

Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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