Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2d (4 BE)

In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für

0 \leq t \leq 12

modellhaft durch die in

ℝ

definierte Funktion

g : t \mapsto 0, 4 \cdot (2 t^{3} - 39 t^{2} + 180 t)

beschrieben. Dabei ist

t

die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und

g (t)

die momentane Änderungsrate des Volumens in

\frac{m^{3}}{h}

Begründen Sie, dass die Funktionswerte von

g

für

0 < t < 7, 5

positiv und für

7, 5 < t < 12

negativ sind.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2d

Nullstellen einer Funktion

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g (t) = 0, 4 \cdot (2 t^{3} - 39 t^{2} + 180 t)

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen

Der Ansatz, um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion

f

mit der

x

-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

In diesem Fall muss die Gleichung nach

t

aufgelöst werden.

Nullstellen bestimmen:

g (t) = 0

0, 4 \cdot (2 t^{3} - 39 t^{2} + 180 t) = 0

2 t^{3} - 39 t^{2} + 180 t = 0

t \cdot (2 t^{2} - 39 t + 180) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

Alle Terme werden einzeln untersucht.

\Rightarrow

t_{1} = 0

2 t^{2} - 39 t + 180 = 0

t_{2, 3} = \frac{39 \pm \sqrt{1521 - 1440}}{4} = \frac{39 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{39 \pm 9}{4}

\Rightarrow

t_{2} = \frac{39 + 9}{4} = 12

\Rightarrow

t_{3} = \frac{39 - 9}{4} = 7, 5

Skizze von

g (t)

Schritt einblenden / ausblenden

Charakteristischer Verlauf ganzrationaler Funktionen

Die Funktion

0, 4 \cdot (2 t^{3} - 39 t^{2} + 180 t)

ist eine Polynomfunktion dritten Grades mit positiven Leitkoeffizienten

0, 4 \cdot 2

. Ihr charakteristischer Verlauf ist "von links unten nach rechts oben".

\Rightarrow

g (t) > 0

für

0 < t < 7, 5

\Rightarrow

g (t) < 0

für

7, 5 < t < 12

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Nullstellen einer Funktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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