Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (4 BE)

Gegeben ist die in

ℝ^{+}

definierte Funktion

h : x \mapsto 3 x \cdot (- 1 + \ln x)

.
Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{h}

von

h

im Bereich

0, 75 \leq x \leq 4

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an

G_{h}

im Punkt

(e | 0)

und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet.

(zur Kontrolle: $h^{'} (x) = 3 \cdot \ln x$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Tangentengleichung ermitteln

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Tangentengleichung

t

im Punkt

(e | 0)

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Gleichung der Tangente

Formel für die Tangentengleichung:

t (x) = (x - x_{0}) \cdot f^{'} (x_{0}) + f (x_{0})

Hier ist

x_{0} = e

t : y = (x - x_{0}) \cdot h^{'} (x_{0}) + h (x_{0})

t : y = (x - e) \cdot h^{'} (e) + h (e)

Nebenrechnungen:

h (e) = 3 e \cdot (- 1 + \underset{1}{\underset{︸}{\ln e}}) = 0

h^{'} (x) = 3 \cdot (- 1 + \ln x) + 3 x \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln x

h^{'} (e) = 3 \ln e = 3

\Rightarrow

t : y = 3 \cdot (x - e)

Winkel bestimmen

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Schritt einblenden / ausblenden

Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an der Stelle

x_{0}

, ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x_{0}

.

Sie entspricht auch dem Tangens des Winkels

α

, welcher die Tangente mit der

x

-Achse bildet.

f^{'} (x_{0}) = \tan α

\tan α = h^{'} (e)

α = \tan^{- 1} (3) \approx 71, 6^{\circ}

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Winkel bestimmen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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