Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (4 BE)

Um die Sonneneinstrahlung im Laufe des Tages möglichst effektiv zur Energiegewinnung nutzen zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Solarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Größe des Neigungswinkels

φ

gegenüber der Horizontalen bleibt dabei unverändert.
Betrachtet wird der Eckpunkt des Solarmoduls, der im Modell durch den Punkt

A

dargestellt wird. Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Lage eines Punktes

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Sei

l

die Lotgerade durch

M (- 2 | 4 | 3)

auf die

x_{1} x_{2}

-Ebene und

M^{'}

der Mittelpunkt des Kreises, auf dem sich

A (0 | 0 | 1)

bewegt.

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

M^{'}

auf der Lotgeraden liegt, hat er die gleichen

x_{1}

- u.

x_{2}

-Koordinaten wie der Punkt

M

M^{'} \in l

\Rightarrow

M^{'} (- 2 | 4 | x_{3})

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Die Strecke

[A M^{'}]

ist parallel zur

x_{1} x_{2}

-Ebene. Daraus folgt, dass die

x_{3}

-Koordinaten von

M^{'}

und

A

gleich sind.

\vec{A M^{'}} ∥ x_{1} x_{2}

-Ebene

\Rightarrow

x_{3_{M^{'}}} = x_{3_{A}}

\Rightarrow

M^{'} (- 2 | 4 | 1)

\vec{A M^{'}} = \vec{M^{'}} - \vec{A} = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{A M^{'}} | = | (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{4 + 16 + 0} = \sqrt{20}

Schritt einblenden / ausblenden

r = | \vec{A M^{'}} | \cdot 0, 8 m = \sqrt{20} \cdot 0, 8 m \approx 3, 58 m = 358 cm

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Themen dieser Aufgabe:

Lage eines Punktes

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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