Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2a (4 BE)

Gegeben ist die Funktion

h : x \mapsto \frac{3}{e^{x + 1} - 1}

mit Definitionsbereich

D_{h} =] - 1; + \infty [.

Abbildung 2 zeigt den Graphen

G_{h}

von

h .

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass

lim_{x \to + \infty} h (x) = 0

gilt. Zeigen Sie rechnerisch für

x \in D_{h}

, dass für die Ableitung

h^{'}

von

h

gilt:

h^{'} (x) < 0

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2a

Grenzwert bestimmen

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h (x) = \frac{3}{e^{x + 1} - 1}

lim_{x \to + \infty} \frac{3}{\underset{\to + \infty}{\underset{︸}{\underset{\to + \infty}{\underset{︸}{e^{x + 1}}} - 1}}} = 0

Steigung eines Funktionsgraphen

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Erste Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Quotientenregel der Differenzialrechnung

Quotientenregel:

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{{[v (x)]}^{2}}

Hier ist

\begin{matrix} u (x) = 3 & und & v (x) = e^{x + 1} - 1 \end{matrix}

.
Dann ist

\begin{matrix} u^{'} (x) = 0 & und & v^{'} (x) = e^{x + 1} \end{matrix}

.

Bemerkung: für die Ableitung der Exponentialfunktion

v (x)

wird die Kettenregel verwendet.

Kettenregel:

v (x) = e^{g (x)}

\Rightarrow

v^{'} (x) = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

h^{'} (x) = \frac{0 \cdot (e^{x + 1} - 1) - 3 \cdot e^{x + 1}}{{(e^{x + 1} - 1)}^{2}}

h^{'} (x) = \frac{- 3 \cdot e^{x + 1}}{{(e^{x + 1} - 1)}^{2}}

Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen eines Bruches

Die erste Ableitung ist ein Bruch.

Ein Bruch ist positiv wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind (z.B.

\frac{3}{5} > 0

oder

\frac{- 3}{- 5} > 0

).

Ein Bruch ist negativ wenn Zähler und Nenner verschiedenes Vorzeichen haben (z.B.

\frac{- 3}{5} < 0

oder

\frac{3}{- 5} < 0

)

In diesem Fall ist:

- der Zähler

- 3 \cdot e^{x + 1}

negativ für alle

x \in D_{h}

, da

- 3

eine negative Zahl und die Exponentialfunktion

e^{x + 1}

stets positiv ist.

- der Nenner

{(e^{x + 1} - 1)}^{2}

positiv für alle

x \in D_{h}

, da er eine "quadratische" Funktion ist.

Die erste Ableitung ist somit negativ für alle

x \in D_{h}

h^{'} (x) = \frac{\overset{< 0}{\overset{︷}{- 3 \cdot \overset{> 0}{\overset{︷}{e^{x + 1}}}}}}{\underset{> 0}{\underset{︸}{{(e^{x + 1} - 1)}^{2}}}} < 0

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Grenzwert bestimmen

Steigung eines Funktionsgraphen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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