Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1c (5 BE)

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in

ℝ

definierten Funktion

p : x \mapsto 0, 5 \cdot (x + 2)^{2} - 0, 5

, die die Nullstellen

x = - 3

und

x = - 1

hat.
Für

x \in D_{f}

gilt

f (x) = \frac{1}{p (x)} .

Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen

f^{'}

und

p^{'}

die Beziehung

f^{'} (x) = - \frac{p^{'} (x)}{(p (x))^{2}}

für

x \in D_{f}

.
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von

f^{'} (x)

und

p^{'} (x)

, dass

x = - 2

einzige Nullstelle von

f^{'}

ist und dass

G_{f}

] - 3; - 2 [

streng monoton steigend sowie in

] - 2; - 1 [

streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von

G_{f}

an.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1c

Nullstellen einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Der Graph von

p (x)

ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel

S (- 2 | - 0, 5)

\Rightarrow

p^{'} (- 2) = 0

\Rightarrow

f^{'} (- 2) = - \frac{\overset{0}{\overset{︷}{p^{'} (- 2)}}}{(p (- 2))^{2}} = 0

G_{p}

nur ein Extrempunkt hat, hat

f^{'}

nur eine einzige Nullstelle.

Monotonieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen eines Bruches

Ein Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind (z.B.

\frac{3}{5} > 0

oder

\frac{- 3}{- 5} > 0

).

Ein Bruch ist negativ, wenn Zähler und Nenner verschiedenes Vorzeichen haben (z.B.

\frac{- 3}{5} < 0

oder

\frac{3}{- 5} < 0

).

In diesem Fall ist der Nenner

(p (x))^{2}

wegen dem Quadrat immer positiv.

Der Bruch ist somit positiv, falls der Zähler

- p^{'} (x)

auch positiv ist:

- p^{'} (x) > 0

\Rightarrow

p^{'} (x) < 0

Der Bruch ist somit negativ, falls der Zähler

- p^{'} (x)

auch negativ ist:

- p^{'} (x) < 0

\Rightarrow

p^{'} (x) > 0

{\begin{matrix} f^{'} (x) = - \frac{p^{'} (x)}{\underset{> 0}{\underset{︸}{(p (x))^{2}}}} > 0 & , & falls & p^{'} (x) < 0 \\ f^{'} (x) = - \frac{p^{'} (x)}{\underset{> 0}{\underset{︸}{(p (x))^{2}}}} < 0 & , & falls & p^{'} (x) > 0 \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Steigung eines Funktionsgraphen

Die Steigung des Graphen einer Funktion

g

an der Stelle

x

ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x

.

Der Graph der Funktion

p

(s. Abbildung 1) ist im Bereich

] - 3; - 2 [

streng monoton fallend, also ist die erste Ableitung

p^{'}

dort negativ. Im Bereich

] - 2; - 1 [

ist der Graph streng monoton steigend, also ist

p^{'}

dort postiv.

{\begin{matrix} p^{'} (x) < 0 & , & für & x \in] - 3; - 2 [ \\ p^{'} (x) > 0 & , & für & x \in] - 2; - 1 [ \end{matrix}

folgt

{\begin{matrix} f^{'} (x) > 0 & , & für & x \in] - 3; - 2 [ \\ f^{'} (x) < 0 & , & für & x \in] - 2; - 1 [ \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Monotonieverhalten einer Funktion

Für stetige Funktionen besteht eine Beziehung zwischen Monotonie und Ableitung, da die Ableitung die Steigung der Funktion angibt.

Es gilt:

f^{'} (x) > 0

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f^{'} (x) < 0

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

\Rightarrow

f (x)

ist für

x \in] - 3; - 2 [

streng monoton steigend

\Rightarrow

f (x)

ist für

x \in] - 2; - 1 [

streng monoton fallend

Lage von Extrempunkten ermitteln

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x^{E} = - 2

y^{E} = f (x^{E}) = f (- 2) = \frac{2}{(- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3} = - 2

\Rightarrow

E (- 2 | - 2)

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E (- 2 | - 2)

ist ein Hochpunkt.

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Die Art eines Extrempunkts kann durch das Vorzeichen der Ableitung bestimmt werden:

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(+)

nach

(-)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt (Maximum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(-)

nach

(+)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt (Minimum).

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Nullstellen einer Funktion

Monotonieverhalten einer Funktion

Lage von Extrempunkten ermitteln

Art von Extrempunkten ermitteln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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