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Themen dieser Aufgabe:

Lotfußpunkt auf eine Gerade

Länge eines Vektors

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c  (5 BE)

An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich – in Fahrtrichtung gesehen – eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ verläuft und den Mittelpunkt ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0|3\sqrt{2}|2\right)}$ hat.

Das Lot von ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ schneidet ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ im Punkt ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Im Modell stellt ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.

(Teilergebnis: ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(-1|2\sqrt{2}|3\right)}$).

 

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Lösung als Video

Lotfußpunkt auf eine Gerade

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${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0|3\sqrt{2}|2\right)}$

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\underset{\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{2}\\ 2\end{array}\right)}}+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \underset{\overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)}}}$

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Hilfsebene

Um den Punkt ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ des Lotes von ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ zu bestimmen, bildet man zuerst eine Hilfsebene, die durch ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ geht und senkrecht zu ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ steht. Diese Ebene scheidet somit die Gerade ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ im Lotfußpunkt ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Hilfsebene ${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ durch ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ senkrecht zu ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aufstellen:

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Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\circ \overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\circ \overrightarrow{\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Hier ist der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ der Gerade ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, da die Ebene senkrecht zu ihr stehen soll. Als Aufpunkt wird ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gewählt.

${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\underset{\overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)}}\circ \overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)\circ \underset{\overrightarrow{\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 3\sqrt{2}\\ 2\end{array}\right)}}}$

${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+\sqrt{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0+6+2}$

${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+\sqrt{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3-8=0}$



Hilfsebene ${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit der Geraden ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ schneiden: ${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

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Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ eine Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ in einem Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ (von ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$) die Normalenform der Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Man setzt ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ in ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ein und löst nach ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf.

Hier wird also ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ in ${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eingesetzt und nach ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aufgelöst.

$\begin{array}{cccc}\mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:& -(0-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{2}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})+(2+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})-8& =& 0\\ & \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2+2\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}-8& =& 0\\ & 4\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4& =& 0\\ & \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& =& 1\end{array}$

${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ in ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ einsetzen und Lotfußpunkt ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bestimmen:

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{2}\\ 2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\sqrt{2}\\ 3\end{array}\right)}$

${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(-1|2\sqrt{2}|3\right)}$

Länge eines Vektors

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Kurvenradius ${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\overline{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bestimmen:

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\overrightarrow{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\sqrt{2}\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\sqrt{2}\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\\ -1\end{array}\right)}$

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Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag) ${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}|}$ eines Vektors ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\end{array}\right)}$ ist gegeben durch:

${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}|=\left|\left(\begin{array}{c}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\end{array}\right)\right|=\sqrt{{\left(\begin{array}{c}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\end{array}\right)}^2}=\sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^2+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^2+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3^2}}$

${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\overline{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\\ -1\end{array}\right)\right|=\sqrt{1+2+1}=2}$

Alternative Lösung

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Der Lotfußpunkt ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ kann auch über die Lotfußpunktsformel bestimmt werden:

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Lotfußpunktsformel

Formel für die Bestimmung des Lotfußpunktes ${\displaystyle \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eines Lotes von einem Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf eine Gerade ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$:

${\displaystyle \left[\overrightarrow{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\overrightarrow{\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right]\circ \overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0}$

"Gerade ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ minus Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mal Richtungsvektor ${\displaystyle \mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ der Geraden ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist gleich Null"

In diesem Fall ist ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ der Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

${\displaystyle \left[\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{2}\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 3\sqrt{2}\\ 2\end{array}\right)\right]\circ \left(\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)=0}$


Nach der Skalarmultiplikation wird die Gleichung nach ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aufgelöst. Der gefundene Wert für ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um den Lotfußpunkt zu berechnen.

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Teilaufgabe Teil A 2a

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Teilaufgabe Teil B c

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