Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (3 BE)

Die

x_{1} x_{2}

-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt

A

und verläuft entlang der Geraden

g

. Der Vektor

\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix})

beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.

Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Winkel zwischen Gerade und Ebene

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g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix}) + λ \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix})}}

x_{1} x_{2}

-Ebene:

\vec{X} \circ \underset{\vec{n}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}} = 0

\Leftrightarrow

x_{3} = 0

\vec{n}

ist der Normalenvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene.

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{v} | = | (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix}) | = \sqrt{1 + 2 + 1} = 2

| \vec{n} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 0 + 1} = 1

Winkel

α

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Der Sinus des Winkels

α

zwischen einer Geraden

g

und einer Ebenen

E

ist gegeben durch:

\sin α = \frac{| \vec{R V_{g}} \circ \vec{n_{E}} |}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

wobei

\vec{R V_{g}}

der Richtungsvektor der Geraden und

\vec{n_{E}}

der Normalenvektor der Ebene ist.

(Anmerkung: Man verwendet die Formel gerne ohne Betragsstriche im Zähler; also

\sin α = \frac{\vec{R V_{g}} \circ \vec{n_{E}}}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

.

Aber mit Betragsstrichen wird immer der spitze Winkel bestimmt.)

\sin α = \frac{| \vec{v} \circ \vec{n} |}{| \vec{v} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{| (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |} = \frac{| 0 + 0 + 1 |}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}

\Rightarrow

α = \sin^{- 1} (\frac{1}{2}) = 30^{\circ}

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen Gerade und Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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