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Abitur 2015 Mathematik Analytische Geometrie V
Die Gerade verläuft durch die Punkte und .
Teilaufgabe Teil A 1a (3 BE)
Zeigen Sie, dass die Punkte und den Abstand haben.
Die Punkte und liegen auf und haben von jeweils den Abstand . Bestimmen Sie die Koordinaten von und .
Die Punkte und liegen auf und haben von jeweils den Abstand . Bestimmen Sie die Koordinaten von und .
Teilaufgabe Teil A 1b (2 BE)
Die Punkte , und sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten.
Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.
Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.
Betrachtet wird die Pyramide mit , , , und . Die Grundfläche ist ein Parallelogramm.
Teilaufgabe Teil A 2a (2 BE)
Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm ein Rechteck ist.
Teilaufgabe Teil A 2b (3 BE)
Die Kante steht senkrecht auf der Grundfläche . Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt .
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene , der Punkt und die Gerade , , gegeben.
Teilaufgabe Teil B a (6 BE)
Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene im Koordinatensystem hat. Weisen Sie nach, dass die Ebene die Gerade enthält. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit der -Achse und mit der -Achse an und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene sowie den Verlauf der Geraden in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).
Die -Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt und verläuft entlang der Geraden . Der Vektor beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.
Teilaufgabe Teil B b (3 BE)
Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.
An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich – in Fahrtrichtung gesehen – eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene verläuft und den Mittelpunkt hat.
Teilaufgabe Teil B c (5 BE)
Das Lot von auf schneidet im Punkt . Im Modell stellt den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.
(Teilergebnis: ).
(Teilergebnis: ).
Teilaufgabe Teil B d (2 BE)
Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt beschrieben. Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts gilt: .
Teilaufgabe Teil B e (4 BE)
Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke und den Viertelkreis von nach dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von . Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem in der Realität entspricht.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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