Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (6 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene

E : x_{1} + x_{3} = 2

, der Punkt

A (0 | \sqrt{2} | 2)

und die Gerade

g : \vec{X} = \vec{A} + λ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix})

λ \in ℝ

, gegeben.

Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene

E

im Koordinatensystem hat. Weisen Sie nach, dass die Ebene

E

die Gerade

g

enthält. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von

E

mit der

x_{1}

-Achse und mit der

x_{3}

-Achse an und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene

E

sowie den Verlauf der Geraden

g

in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Besondere Lage im Koordinatensystem

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E : x_{1} + x_{3} = 2

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Die Ebene

E

ist parallel zur

x_{2}

-Achse, da die

x_{2}

-Koordinate des Normalenvektors Null ist und der Ursprung

(0 | 0 | 0)

nicht in der Ebene enthalten ist.

Lagebeziehung Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix})

Ebene

E

und Gerade

g

schneiden:

E \cap g

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

g

wird in

E

eingesetzt und die Gleichung wird nach

λ

aufgelöst.

\begin{matrix} E \cap g : & (0 - λ) + (2 + λ) & = & 2 \\ 2 & = & 2 \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Lagebeziehung von Ebene und Gerade

Mögliche Lagen einer Gerade zu einer Ebene:
enthalten, parallel, Schnitt (Schnittpunkt)

Überprüfung: Ebene und Gerade scheiden.

Möglichkeiten:

Parameter bleibt stehen (z.B.

λ = 1

)

\Rightarrow

Schnittpunkt

Parameter fällt weg und die Aussage ist wahr (z.B. 0 = 0)

\Rightarrow

Gerade ist in der Ebene enthalten

Parameter fällt weg und die Aussage ist falsch (z.B. 2 = 1)

\Rightarrow

Gerade liegt parallel zur Ebene

\Rightarrow

g

ist in

E

enthalten

(g \subset E)

Spurpunkte einer Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

x_{1}

-Koordinatenachse:

\vec{X} = λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

x_{3}

-Koordinatenachse:

\vec{X} = λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Spurpunkte einer Ebene

Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen nennt man Spurpunkte.
Um sie zu bestimmen, setzt man die Gleichung der Koordinatenachse in die Normalenform (Koordinatenform) der Ebene ein, löst nach dem Parameter

λ

auf und setzt diesen Wert in die Geradengleichung ein.

Spurpunkt

S_{1}

mit der

x_{1}

-Koordinatenachse:

λ + 0 = 2

\Rightarrow

λ = 2

\Rightarrow

S_{1} (2 | 0 | 0)

Spurpunkt

S_{3}

mit der

x_{3}

-Koordinatenachse:

0 + λ = 2

\Rightarrow

λ = 2

\Rightarrow

S_{3} (0 | 0 | 2)

Skizze

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Hilfspunkt

G

bestimmen:

g : \vec{X} = \underset{\vec{A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix})}} + λ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix})

λ = - 1

\vec{G} = (\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix}) - 1 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

\Rightarrow

G (1 | 0 | 1)

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Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Besondere Lage im Koordinatensystem

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Spurpunkte einer Ebene

Skizze

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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