Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 2c (2 BE)

Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert

\frac{1}{10}

so geändert werden, dass die Ereignisse

C

und

D

unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 2c

Stochastische Unabhängigkeit

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2. Pfadregel

In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der für dieses Ereignis zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.

In diesem Fall:

P (D) = \underset{\frac{2}{5}}{\underset{︸}{P (C \cap D)}} + \underset{x}{\underset{︸}{P (\bar{C} \cap D)}}

P (D) = \frac{2}{5} + x

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Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse

A

und

B

heißen stochastisch unabhängig, wenn

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

gilt, d.h. wenn die Wahrscheinlichkeit dass beide Ereignisse zusammen auftreten, gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist.

Es soll gelten:

P (C) \cdot P (D) = P (C \cap D)

\frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{5} + x) = \frac{2}{5}

\frac{4}{15} + \frac{2}{3} x = \frac{2}{5}

\Leftrightarrow

\frac{2}{3} x = \frac{2}{15}

\Rightarrow

x = \frac{1}{5}

Alternative Lösung

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Es soll gelten:

\underset{\frac{3}{5}}{\underset{︸}{P_{C} (D)}} = P_{\bar{C}} (D)

\Rightarrow

P_{\bar{C}} (D) = \frac{3}{5}

\underset{x}{\underset{︸}{P (\bar{C} \cap D)}} = \underset{\frac{1}{3}}{\underset{︸}{P (\bar{C})}} \cdot \underset{\frac{3}{5}}{\underset{︸}{P_{\bar{C}} (D)}}

\Rightarrow

x = \frac{1}{5}

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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