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Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 1b  (3 BE)

Betrachtet wird das Ereignis ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: "Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A." Untersuchen Sie, ob das Ereignis ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.

 

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Ereignis

Das Ereignis ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ tritt ein, wenn entweder

1 rote Kugel aus A entnommen und auch wieder zurückgelegt wird (1. Fall)

oder

1 weiße Kugel aus A entnommen und auch wieder zurückgelegt wird (2. Fall).


1. Fall:
Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel aus A zu ziehen ist gleich ${\displaystyle \frac{2}{5}}$. Liegen dann in B 4 rote Kugel, so ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel aus B zu ziehen gleich ${\displaystyle \frac{4}{6}}$.


2. Fall:
Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus A zu Ziehen ist gleich ${\displaystyle \frac{3}{5}}$. Liegen dann in B 3 rote Kugel, so ist die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus B zu Ziehen gleich ${\displaystyle \frac{3}{6}}$.

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\stackrel{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{ aus }\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\overbrace{\frac{2}{5}}}\cdot \stackrel{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{ aus }\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\overbrace{\frac{4}{6}}}+\stackrel{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{ aus }\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\overbrace{\frac{3}{5}}}\cdot \stackrel{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{ aus }\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\overbrace{\frac{3}{6}}}=\frac{17}{30}}$

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Gegenereignis

Für die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses ${\displaystyle \overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gilt: ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})=1-\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=1-\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{13}{30}}$

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})>\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$

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