Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik NT Stochastik S II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 6.2 (6 BE)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der verbrauchten Würfel innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.

Lösung zu Teilaufgabe 6.2

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für den Erwartungswert dieser Zufallsgröße:

E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i}) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

(s. auch Merkhilfe Mathematik)

μ = E (X) = 0 \cdot 0, 15 + 1 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0, 2 + 3 \cdot 0, 4 + 4 \cdot 0, 15 = 2, 3

Standardabweichung einer Zufallsgröße

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Varianz bestimmen:

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Varianz einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für die Varianz dieser Zufallsgröße:

V a r (X) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2} \cdot p_{i}

(

μ = E (X) =

Erwartungswert von

X

)

V a r (X) = {(x_{1} - μ)}^{2} \cdot p_{1} + {(x_{2} - μ)}^{2} \cdot p_{2} + \dots + {(x_{n} - μ)}^{2} \cdot p_{n}

(s. auch Merkhilfe Mathematik)

\begin{matrix} V a r (x) & = & (0 - 2, 3)^{2} \cdot 0, 15 + (1 - 2, 3)^{2} \cdot 0, 1 \\ + \\ (2 - 2, 3)^{2} \cdot 0, 2 + (3 - 2, 3)^{2} \cdot 0, 4 \\ + \\ (4 - 2, 3)^{2} \cdot 0, 15 \end{matrix}

V a r (X) = 1, 61

Alternative Berechnung der Varianz über die Verschiebungsregel:

E (X^{2}) = 0^{2} \cdot 0, 15 + 1^{2} \cdot 0, 1 + 2^{2} \cdot 0, 2 + 3^{2} \cdot 0, 4 + 4^{2} \cdot 0, 15 = 6, 9

V a r (X) = E (X^{2}) - μ^{2} = 6, 9 - 2, 3^{2} = 1, 61

Standardabweichung bestimmen:

σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{1, 61} \approx 1, 27

Wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeit bestimmen:

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Erläuterung

"innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert" =

| X - μ | < σ

Die Ungleichung

| X - μ | < σ

ist gleichbedeutend zu

μ - σ < X < μ + σ

P (| X - μ | < σ) = P (μ - σ < X < μ + σ)

P (| X - 2, 3 | < 1, 27) = P (1, 03 < X < 3, 57)

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Erläuterung

Die Zufallsgröße

X

gibt in diesem Fall die Anzahl der verbrauchten Würfel an. Da ein Würfel nur ganze Male verwendet werden kann, muss hier auf ganze Zahlen gerundet werden.

P (| X - 2, 3 | < 1, 27) = P (2 \leq X \leq 3)

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Erläuterung

Wenn

X

zwischen 2 und 3 liegen soll, dann kann

X

entweder gleich 2 oder 3 sein.

P (| X - 2, 3 | < 1, 27) = \underset{0, 2}{\underset{︸}{P (X = 2)}} + \underset{0, 4}{\underset{︸}{P (X = 3)}} = 0, 6

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Themen dieser Aufgabe:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Standardabweichung einer Zufallsgröße

Wahrscheinlichkeit

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