Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 3c (3 BE)

Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug dargestellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für

- 2 \leq x \leq 0

nicht mehr durch

G_{h}

, sondern durch den Graphen

G_{k}

einer in

ℝ

definierten ganzrationalen Funktion

k

dritten Grades beschrieben werden. Für die Funktion

k

werden die folgenden Bedingungen gewählt (

k^{'}

und

h^{'}

sind die Ableitungsfunktionen von

k

bzw.

h

\begin{matrix} I & k (0) = h (0) \\ II & k^{'} (0) = h^{'} (0) \\ III & k (- 2) = h (- 2) \\ IV & k^{'} (- 2) = 1, 5 \end{matrix}

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahl der Bedingungen I, II und III sinnvoll ist. Machen Sie plausibel, dass die Bedingung IV dazu führt, dass die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze im Vergleich zum ursprünglichen Modell genauer dargestellt wird.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 3c

Erläuterungen zum Entstehen der Funktionsgraphen

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Schritt einblenden / ausblenden

Funktionswert

k (0) = h (0)

bedeutet, dass die Graphen

G_{k}

und

G_{h}

denselben Funktionswert an der Stelle

x = 0

annehmen.

Ränder schneiden sich bei

x = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Steigung eines Funktionsgraphen

k^{'} (0) = h^{'} (0)

bedeutet, dass die Graphen

G_{k}

und

G_{h}

dieselbe Steigung an der Stelle

x = 0

besitzen.

G_{k}

geht an der Stelle

x = 0

G_{h}

über ohne "Knick".

II:

Kein "Knick" bei

x = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Funktionswert

k (- 2) = h (- 2)

bedeutet, dass die Graphen

G_{k}

und

G_{h}

denselben Funktionswert an der Stelle

x = - 2

annehmen.

III:

Ränder schneiden sich bei

x = - 2

Schritt einblenden / ausblenden

Steigung eines Funktionsgraphen

Die Steigung der Tangente an

G_{h}

im Punkt

(- 2 | h (- 2))

hat den Wert

m = 4

(siehe Teil B Teilaufgabe 3b).

k^{'} (- 2) = 1, 5

bedeutet, dass die Steigung der Tangente an

G_{k}

im Punkt

(- 2 | k (- 2))

kleiner ist als bei

G_{h}

IV:

Blattränder schließen einen kleineren Winkel ein.

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Themen dieser Aufgabe:

Erläuterungen zum Entstehen der Funktionsgraphen

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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