Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 3b (6 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an

G_{h}

im Punkt

(- 2 | h (- 2))

. Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 3b

Tangentengleichung ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

h (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 4

Tangentengleichung

t

im Punkt

(- 2 | h (- 2))

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichung der Tangente

Formel für die Tangentengleichung:

t (x) = (x - x_{0}) \cdot f^{'} (x_{0}) + f (x_{0})

Hier ist

x_{0} = - 2

t : y = (x - x_{0}) \cdot h^{'} (x_{0}) + h (x_{0})

t : y = (x + 2) \cdot h^{'} (- 2) + h (- 2)

Nebenrechnungen:

h (- 2) = - 2

h^{'} (x) = - x + 2

h^{'} (- 2) = 4

\Rightarrow

t : y = 4 \cdot (x + 2) - 2 = 4 x + 6

Winkel zwischen zwei Geraden

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Betrachtet wird nun das Dreieck, welches von Ursprung, Blattspitze und

x

-Achsenabschnitt der Tangente

t

gebildet wird.

Neigungswinkel

α

der Tangente

t

gegen die

x

-Achse bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an der Stelle

x_{0}

, ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x_{0}

.

Sie entspricht auch dem Tangens des Winkels

α

, welcher die Tangente mit der

x

-Achse bildet.

\tan α = h^{'} (- 2)

\Rightarrow

α = \tan^{- 1} (4)

Nebenwinkel zu

α

β = 180^{\circ} - \tan^{- 1} (4)

Winkel an Ursprung:

γ = 45^{\circ}

\Rightarrow

φ = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 180^{\circ} - \tan^{- 1} (4)) \approx 30, 96^{\circ}

\Rightarrow

Winkel Blattspitze:

2 φ \approx 61, 93^{\circ}

Alternative Lösung

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Richtungsvektor der Tangente

t

(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})

Richtungsvektor der Winkelhalbierenden

w

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Vektoren

Skalarprodukt

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos φ = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) |}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\cos φ = \frac{1 + 4}{\sqrt{1^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{2}}

\Rightarrow

φ = \cos^{- 1} (\frac{5}{\sqrt{34}}) \approx 30, 96^{\circ}

\Rightarrow

Winkel Blattspitze:

2 φ \approx 61, 93^{\circ}

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Tangentengleichung ermitteln

Winkel zwischen zwei Geraden

Alternative Lösung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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