Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 3a (5 BE)

Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1 cm in der Wirklichkeit entsprechen.

Berechnen Sie den Inhalt des von

G_{h}

und der Winkelhalbierenden

w

eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 3a

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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h (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 4

w : y = x

Schnittpunkte:

S_{1} (- 2 | - 2)

;

S_{2} (4 | 4)

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Der Inhalt eines Flächenstücks zwischen zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

ist gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

.

Da nur zwei Schnittpunkte vorhanden sind, kann der innere Betrag weggelassen werden.

Vorsicht: kommt insgesamt beim Integral ein negativer Wert heraus, muss nur das Integral in Betrag gesetzt werden.

A = \int_{- 2}^{4} [h (x) - x] dx

A = \int_{- 2}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 4 - x) dx

A = \int_{- 2}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + x + 4) dx

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Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

- \frac{1}{2} x^{2} + x + 4

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (- \frac{1}{2} x^{2} + x + 4) dx = - \frac{1}{2} \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + 4 \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1} = - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 4 x

A = {[- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{- 2}^{4}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = (- \frac{1}{6} \cdot 4^{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4) - (- \frac{1}{6} \cdot (- 2)^{3} + \frac{1}{2} \cdot (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2))

A = \frac{40}{3} - (- \frac{14}{3})

A = 18

Flächeninhalt Blatt:

36

{cm}^{2}

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Themen dieser Aufgabe:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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