Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 2b (8 BE)

Zeigen Sie, dass

\int_{0}^{4} f (x) dx = 2 + 8 \cdot \ln 5

gilt.

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals

\int_{- 6}^{- 2} f (x) dx

; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 2b

Bestimmtes Integral

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\int_{0}^{4} f (x) dx

=

\int_{0}^{4} (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}) dx

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Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) dx = \frac{1}{2} \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + \frac{1}{2} \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1} = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\frac{8}{x + 1}

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int \frac{g^{'} (x)}{g (x)} dx = \ln | g (x) | + C

\Rightarrow

\int \frac{8}{x + 1} dx = 8 \cdot \int \frac{1}{x + 1} dx = 8 \ln | x + 1 |

Hier ist die Nennerfunktion

g (x) = x + 1

. Abgeleitet ergibt sie die Zählerfunktion

1

\int_{0}^{4} f (x) dx

=

{[\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 8 \ln | x + 1 |]}_{0}^{4}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

\int_{0}^{4} f (x) dx

=

(4 - 2 + 8 \ln 5) - (0 - 0 + 8 \underset{0}{\underset{︸}{\ln 1}})

\int_{0}^{4} f (x) dx

=

2 + 8 \ln 5

Abschätzen eines Integrals durch Flächen

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Bestimmtes Integral

Das Integral

\int_{- 6}^{- 2} f (x) dx

entspricht dem Inhalt der Fläche, die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen -6 und -2 einschließt.

Diese Fläche besteht aus einem Rechteck mit Seitenlängen 4 und 2 und einer Fläche (im Bild rot schraffiert), die wegen der Symmetrie des Graphen

G_{f}

am Punkt

(- 1 | - 1)

, gleich groß ist wie die Fläche (im Bild blau schraffiert), die dem Integral

\int_{0}^{4} f (x) dx

entspricht.

Da die Fläche sich unterhalb der

x

-Achse befindet, ist der Wert des Integrals

\int_{- 6}^{- 2} f (x) dx

negativ.

\int_{- 6}^{- 2} f (x) dx

=

- (\int_{0}^{4} f (x) dx + 2 \cdot 4)

\int_{- 6}^{- 2} f (x) dx

=

- (2 + 8 \ln 5 + 8)

\int_{- 6}^{- 2} f (x) dx

=

- 10 - 8 \ln 5

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Bestimmtes Integral

Abschätzen eines Integrals durch Flächen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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