Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 1 4a (3 BE)

Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{f}

der Funktion

f

mit Definitionsbereich

[- 2; 2]

. Der Graph besteht aus zwei Halbkreisen, die die Mittelpunkte

(- 1 | 0)

bzw.

(1 | 0)

sowie jeweils den Radius

1

besitzen. Betrachtet wird die in

[- 2; 2]

definierten Integralfunktion

F : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) dt

Geben Sie

F (0)

F (2)

und

F (- 2)

an.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 1 4a

Funktionswerte der Integralfunktion angeben

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Funktionswerte bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften der Integralfunktion

Jede Integralfunktion

I_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (t) dt

hat mindestens eine Nullstelle, da die Integrationsgrenze

a

(Integrationsanfang) stets Nullstelle ist:

I_{a} (a) = \int_{a}^{a} f (t) dt = [F (x)]_{a}^{a} = F (a) - F (a) = 0

F (0) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral

\int_{0}^{2} f (x) dx

entspricht dem Inhalt der Fläche, die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen 0 und 2 einschließt.

Diese Fläche entspricht wiederum der eines halben Kreises mit Radius 1:

\int_{0}^{2} f (x) dx = \frac{1}{2} \cdot π \cdot 1^{2} = \frac{π}{2}

F (2) = \frac{π}{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral

\int_{0}^{- 2} f (x) dx

entspricht dem Inhalt der Fläche, die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen -2 und 0 einschließt.

Da die Integrationsrichtung hier umgekehrt ist (von 0 bis -2) und der Graph

G_{f}

achsensysmmetrisch bezüglich der

y

-Achse ist, gilt:

\int_{0}^{- 2} f (x) dx = - \int_{0}^{2} f (x) dx = - \frac{π}{2}

F (- 2) = - \frac{π}{2}

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Themen dieser Aufgabe:

Funktionswerte der Integralfunktion angeben

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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