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Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe Teil 2 1a  (6 BE)
Gegeben ist die Funktion f : x ↦ 1 2 x - 1 2 + 8 x + 1 mit Definitionsbereich ℝ ∖ { - 1 } . Abbildung 2 zeigt den Graphen G f von f .

Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von G f an und zeigen Sie rechnerisch, dass G f seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1a
Asymptoten bestimmen



lim x → - 1 1 2 x - 1 2 + 8 x + 1 ︸ → 0 ︸ → ∞ = ∞ ⇒ x = - 1 senkrechte Asymptote
lim x → ∞ 1 2 x - 1 2 + 8 x + 1 ︸ → ∞ ︸ → 0 = lim x → ∞ 1 2 x - 1 2

⇒ y = 1 2 x - 1 2 schräge Asymptote

Da 8 x + 1 für x → ∞ gegen 0 strebt, verhält sich die Funktion wie 1 2 x - 1 2 für große x -Werte.
Schnittpunkt zweier Funktionen



Schnittpunkt zwischen f ( x ) und der schrägen Asymptote bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
1 2 x - 1 2 + 8 x + 1 = 1 2 x - 1 2

1 2 x - 1 2 + 8 x + 1 - 1 2 x + 1 2 = 0

8 x + 1 = 0 ⇒ keine Lösung

Die schräge Asymptote schneidet nicht den Graphen der Funktion f .
Skizze



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Asymptoten bestimmen
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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