Abitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Teilaufgabe Teil 1 1 (5 BE)

Geben Sie für die Funktion

f

mit

f (x) = \ln (2013 - x)

den maximalen Definitionsbereich

D

, das Verhalten von

f

an den Grenzen von

D

sowie die Schnittpunkte des Graphen von

f

mit den Koordinatenachsen an.

Teilaufgabe Teil 1 2 (4 BE)

Der Graph der in

ℝ

definierten Funktion

f : x \mapsto x \cdot \sin x

verläuft durch den Koordinatenursprung. Berechnen Sie

f^{''} (0)

und geben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von

f

in unmittelbarer Nähe des Koordinatenursprungs an.

Gegeben sind die in

ℝ

definierten Funktionen

g : x \mapsto e^{- x}

und

h : x \mapsto x^{3}

Teilaufgabe Teil 1 3a (2 BE)

Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen von

g

und

h

genau einen Schnittpunkt haben.

Teilaufgabe Teil 1 3b (4 BE)

Bestimmen Sie einen Näherungswert

x_{1}

für die

x

-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in

ℝ

definierte Funktion

d : x \mapsto g (x) - h (x)

den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert

x_{0} = 1

durchführen.

Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{f}

der Funktion

f

mit Definitionsbereich

[- 2; 2]

. Der Graph besteht aus zwei Halbkreisen, die die Mittelpunkte

(- 1 | 0)

bzw.

(1 | 0)

sowie jeweils den Radius

1

besitzen. Betrachtet wird die in

[- 2; 2]

definierten Integralfunktion

F : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) dt

Teilaufgabe Teil 1 4a (3 BE)

Geben Sie

F (0)

F (2)

und

F (- 2)

an.

Teilaufgabe Teil 1 4b (2 BE)

Skizzieren Sie den Graphen von

F

in Abbildung 1.

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}

mit Definitionsbereich

ℝ ∖ {- 1}

. Abbildung 2 zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Teilaufgabe Teil 2 1a (6 BE)

Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von

G_{f}

an und zeigen Sie rechnerisch, dass

G_{f}

seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein.

Teilaufgabe Teil 2 1b (8 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von

G_{f}

Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass

G_{f}

bezüglich des Schnittpunkts

P (- 1 | - 1)

seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von

G_{f}

kann die Funktion

g

betrachtet werden, deren Graph aus

G_{f}

durch Verschiebung um

1

in positive

x

-Richtung und um

1

in positive

y

-Richtung hervorgeht.

Teilaufgabe Teil 2 2a (6 BE)

Bestimmen Sie einen Funktionsterm von

g

. Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von

G_{f}

nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von

g

punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(Teilergebnis: $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{8}{x}$ )

Teilaufgabe Teil 2 2b (8 BE)

Zeigen Sie, dass

\int_{0}^{4} f (x) dx = 2 + 8 \cdot \ln 5

gilt.

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals

\int_{- 6}^{- 2} f (x) dx

; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm.

Die bisher betrachtete Funktion

f

gibt für

0 \leq x \leq 15

die Höhe von

S

über dem Dosenboden in Zentimetern an; dabei ist

x

die Füllhöhe in Zentimetern (vgl. Abbildung 3).

Teilaufgabe Teil 2 3a (3 BE)

Berechnen Sie

f (0)

und

f (15)

. Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang.

Teilaufgabe Teil 2 3b (3 BE)

Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts

S

während des Füllvorgangs.
Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass

x

-Koordinate und

y

-Koordinate des Tiefpunkts von

G_{f}

übereinstimmen?

Teilaufgabe Teil 2 3c (6 BE)

Für welche Füllhöhen

x

liegt der Schwerpunkt

S

höchstens 5 cm hoch?
Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil 1 1

Teilaufgabe Teil 1 2

Teilaufgabe Teil 1 3a

Teilaufgabe Teil 1 3b

Teilaufgabe Teil 1 4a

Teilaufgabe Teil 1 4b

Teilaufgabe Teil 2 1a

Teilaufgabe Teil 2 1b

Teilaufgabe Teil 2 2a

Teilaufgabe Teil 2 2b

Teilaufgabe Teil 2 3a

Teilaufgabe Teil 2 3b

Teilaufgabe Teil 2 3c

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