Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 1 3b (5 BE)

Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals

\int_{0}^{2} f (x) dx

.

Warum stimmt der Wert dieses Integrals nicht mit dem Inhalt der Fläche überein, die für

0 \leq x \leq 2

zwischen dem Graphen von

f

und der

x

-Achse liegt?

Lösung zu Teilaufgabe Teil 1 3b

Bestimmtes Integral

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\int_{0}^{2} f (x) dx = \int_{0}^{2} \sin (2 x) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Aus der "Merkhilfe Mathematik" entnimmt man:

\int \sin dx = - \cos (x) + C

Die Stammfunktion von

\sin x

ist

- \cos x

.

Gesucht ist hier die Stammfunktion von

\sin (2 x)

.

Aus der "Merkhilfe Mathematik" entnimmt man:

\int f (a x + b) dx = \frac{1}{a} F (a x + b) + C

(

F

ist eine Stamffunktion von

f

)

Da im Argument des Sinus

2 x

steht, folgt:

\int \sin (2 x) dx = - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C

Beim Ableiten wird die Regel verständlich.

Probe (Ableitung):

{(- \frac{1}{2} \cos (2 x))}^{'} = - \frac{1}{2} \cdot 2 \sin (2 x) = \sin (2 x)

=

{[- \frac{1}{2} \cos (2 x)]}_{0}^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

=

- \frac{1}{2} \cos (4) + \frac{1}{2} \underset{1}{\underset{︸}{\cos (0)}}

\approx

0, 83

Flächenberechnung

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Der Wert des Integrals stimmt nicht mit der Fläche überein, die für

0 \leq x \leq 2

zwischen dem Graphen von

f

und der

x

-Achse liegt, da das Integral von 0 bis 2 die Flächendifferenz angibt.

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Themen dieser Aufgabe:

Bestimmtes Integral

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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