Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe g (5 BE)

Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinab. Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt

M

aus parallel zur Kante

[C B]

auf einer Geraden

g

. Geben Sie eine Gleichung von

g

an und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die

x_{1} x_{2}

-Ebene berührt.

Lösung zu Teilaufgabe g

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Hier wird der Punkt

M

als Aufpunkt der Geraden gewählt (also ist

\vec{M}

der Ortsvektor) und als Richtungsvektor der Vektor

\vec{C B}

, da die Kugel parallel zur Kante

[C B]

rollt.

\vec{C B} = \vec{B} - \vec{C} = (\begin{matrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ - 3 \end{matrix})

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 5 \\ 6, 5 \\ 3 \end{matrix}) + λ \underset{\vec{C B}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ - 3 \end{matrix})}}

Lagebeziehung Ebene und Kugel

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Sei

M^{'}

der Kugelmittelpunkt, wenn die Kugel die

x_{1} x_{2}

-Ebene berührt.

Schritt einblenden / ausblenden

Punktkoordinaten

Der Punkt

M^{'}

liegt auf der Geraden

g

. Seine Koordinaten erfüllen die Geradengleichung:

\vec{M^{'}} = (\begin{matrix} 5 \\ 6, 5 \\ 3 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 6, 5 + 4 λ \\ 3 - 3 λ \end{matrix})

M^{'} (5 | 6, 5 + 4 λ | 3 - 3 λ)

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Wenn die Kugel die

x_{1} x_{2}

-Ebene berührt, dann ist der Abstand vom Mittelpunkt

M^{'}

zur

x_{1} x_{2}

-Ebene gleich dem Radius

r = 1, 5

der Kugel (siehe Teilaufgabe f).

Der Abstand eines bel. Punktes zur

x_{1} x_{2}

-Ebene ist gleich der

x_{3}

-Koordinate des Punktes.

\Rightarrow

3 - 3 λ = 1, 5

3 - 3 λ = 1, 5

\Rightarrow

λ = 0, 5

\Rightarrow

M^{'} (5 | 8, 5 | 1, 5)

Länge eines Vektors

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Länge des Weges bestimmen:

\vec{M M^{'}} = \vec{M^{'}} - \vec{M} = (\begin{matrix} 5 \\ 8, 5 \\ 1, 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 6, 5 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 1, 5 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\bar{M M^{'}} = | \vec{M M^{'}} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 1, 5 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 2^{2} + (- 1, 5)^{2}} = \sqrt{6, 25} = 2, 5

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe f

Teilaufgabe g

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Lagebeziehung Ebene und Kugel

Länge eines Vektors

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